徐晓慧，张晓玲

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046)

0 引言

卷积度量是乘积度量的推广.Bishop 和O’Neil[1]为了研究具有负曲率的黎曼流形而引入了卷积度量.这种度量主要用于构造具有某些曲率条件的黎曼流形的新例子.后来有学者将卷积度量扩展到芬斯勒流形的情况[2−3]，这些度量被称为卷积芬斯勒度量.最近，卷积芬斯勒度量的研究取得重大进展[2−7].Liu和Mo刻画了具有消失的Douglas 曲率的卷积芬斯勒度量[6].Liu等研究了具有特殊黎曼性质的卷积芬斯勒度量[7].

在芬斯勒几何中，S 曲率是一类非常重要的非黎曼几何量.其最早是Shen 在研究体积比较定理时引入的[8].最近，学者们证明了S 曲率在芬斯勒几何中扮演着一个非常重要的角色[9−11].众所周知，若芬斯勒度量F 具有迷向S 曲率，即对于流形M 上的数量函数c(x)有S=(n+1)c(x)F，且F 具有数量曲率K=K(x,y)，则有+τ(x)，其中τ(x)是流形M 上的数量函数[12].

在本文中，我们研究了卷积芬斯勒流形.考虑n 维卷积流形M:=I×其中I 是R 上的一个区间，是一个具有黎曼度量的(n−1) 维流形.TM=∪u∈MTuM 是M 上的切丛，其中TuM 是u ∈M 的切空间，v 是TuM 上的非零切向量，上的非零切向量.在TM 上定义如下非负函数：

定理1n(≥3)维流形上的卷积芬斯勒度量F=φ(r,s),r=u1,s=具有弱迷向S 曲率当且仅当下式成立

应用此定理，我们构造很多具有消失S 曲率的Douglas 型卷积芬斯勒度量的例子.

1 预备知识

设M 是一个流形，TM=∪x∈MTxM 是M 上的切丛，其中TxM 是点x ∈M 的切空间，TM0=TM{0}为M 上带孔切丛.一个芬斯勒度量就是没有二次型限制的黎曼度量.

定义1设M 是一个n 维光滑流形.F :TM →[0,∞)是其切丛TM 上的非负函数.如果F 满足如下条件：