余安康，李宝德

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046)

0 引言

作为欧氏距离的推广,拟距离可以应用在更广泛的情况下,例如在各向异性情形下的拟距离仍然具有很多良好的性质,具体内容可参阅文献[1]和[2].对于欧氏空间中凸体所满足的几何性质（定理1）的一种推广,我们称用距离定义的球满足与凸体类似的几何性质为该拟距离的拟凸性.这种定义灵活方便,所建立的性质也可在更广泛的情况下使用.此外,拟齐次性是拟距离所定义的球的性质,该性质是对欧氏空间中球的基本性质的一种推广,也具有一些良好的性质.例如,欧氏空间中的任意范数所构成的拟距离满足拟齐次性,并且满足拟齐次性的拟距离也一定满足双倍条件（见公式(4)）.于是一个自然的问题,在欧氏空间中,是否有一些非平凡的拟距离满足拟凸性和拟齐次性? 本文的目的便是构造一个满足拟凸性和拟齐次性的非平凡的拟距离.受Stein[3]的启发,本文证明了由向量场X1:=∂/∂x1和X2:=所导出的映射满足上述两个性质的拟距离.

为方便起见,对全文做如下约定.符号D ≾F 表示D ≾CF,其中C 为一个正的常数.如果D ≾F 且F ≾D,我们记为D ∼F.

1 拟距离，拟凸性和拟齐次性

Rn中的椭球ξ 是指n 维欧氏空间的单位球Bn:={x ∈Rn:|x|<1} 在仿射变换下的像集,即

其中:Mξ是一个非奇异矩阵,cξ∈Rn是椭球ξ 的中心.对任意的椭球ξ 和λ ≥1,定义

定义1集合X 上的映射ρ:X×X →[0,∞) 是拟距离,如果对所有的x,y,z ∈X 满足如下条件:

(i) ρ(x,y)=0 ⇔x=y;

(ii) 存在常数C>0,使得ρ(x,y)≤Cρ(y,x);

(iii) 存在常数κ ≥1,使得ρ(x,y)≤κ(ρ(x,z)+ρ(y,z)).

显然,条件(ii) 成立当且仅当ρ(x,y)∼ρ(y,x).另外,设=[ρ(x,y)+ρ(y,x)]/2,可进一步得……