何 萍，赵 良

（安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山 243032）

文中

R

表示有单位元的环，

N

（

R

）表示环

R

中所有幂零元的集合，

M

(

R

)表示

R

上的

n

×

n

全矩阵环，

U

(

R

)表示

R

上的

n

×

n

上三角矩阵环，

D

(

R

)表示主对角线元素相等的所有矩阵环。对任意

a

∈

R

，

a

在

R

中的右零化子记为

r

(

a

) = {

b

∈

R

|

ab

= 0}，

a

在

R

中的左零化子记为

l

(

a

) = {

b

∈

R

|

ba

= 0}。称环

R

是约化环，如果对所有的

a

∈

R

,由

a

= 0 可推出

a

= 0。根据文献[1],称环

R

为可逆环，如果对所有

a

,

b

∈

R

，由

ab

= 0 可推出

ba

= 0，显然每一个约化环是可逆环。Anderson 等研究了环的零交换性质，并用

ZC

表示可逆环。如果对所有的

a

,

b

∈

R

，由

ab

= 0 可得到

aRb

= 0，则称这样的环为半交换环，每一个可逆环都是半交换环。进一步地，Baser 等研究了相对于环的自同态的半交换性质和可逆性质，Zhao 等还研究了幺半群环上的可逆性质。对于可逆环和半交换环的幂零结构的研究，是近年非交换环论的一个研究热点。根据文献[6]，环

R

称为CNZ 环，如果对任意

a

,

b

∈

N

(

R

)，由

ab

= 0 可推出

ba

= 0。进一步地，Mohammadi 等研究了诣零半交换环，称环

R

为诣零半交换环，如果对任意

a

,

b

∈

N

(

R

)，由

ab

= 0 可推出

aRb

= 0。显然，CNZ 环和诣零半交换环是两类性质完全不同的环，但它们从不同方面分别揭示了幂零元的交换性质。关于可逆环及其相关环的幂零结构的研究，可参考文献[8-10]。由此，有如下问题：若CNZ环中只有一个元素是幂零元，这样的环又具有怎样的幂零结构？受上述研究启发，进一步研究幂零元的单边零交换性质，即在CNZ 环中当有一个元素是幂零元时的两个元素的零交换性质，将具有这种性质的环称为左幂零可逆环和右幂零可逆环；通过构造反例说明左（或右）幂零可逆环是CNZ环的一个真子类，并给出可逆环和左（或右）幂零可逆环等价的条件。……