摘 要：如何才能更好地指导学生进行作图学习，为此，我们进行了教材几何作图知识方面的梳理，试图了解教材关于几何作图的编排体系与知识结构，进而让教师的作图教学更具有方向性和指导性，让学生作图学习不仅仅停留在简单的操作中，而是实现整体的提升。基于概念理解、目标分层和作图技能沟通，具体实现作图的目标落实和能力培养的教学策略。

关键词：作图体系;对比;作图学习

小学阶段的作图是对图形与几何的初步认识，作图工具方面可操作性强，作图内容相对比较具体直观。从总体上来看，小学阶段的作图是结合认识图形慢慢渗透几何直观观念。为此，教师应重视学生的基本作图，争取人人能够达标，部分学生还能适度超标。如何才能更好地指导学生进行作图学习？为此，我们进行了教材几何作图知识方面的梳理，这样教师的作图教学更具有方向性和指导性。

一、 小学数学教材中几何作图的梳理

学生作图学习能力的提升是一个循序渐进的过程，需要教师结合日常教学逐步地渗透和指导。因此，有必要对教材中的作图内容按照不同年级做一个有序的梳理，分析作图内容间的联系与发展，更好地组织教学活动。通过梳理发现，小学阶段的作图知识总共分为四大类，分别是画线、画角、画平面图形与画图形运动。而这四类板块的学习，教材依据学生身心发展和知识体系呈现有机联系、螺旋上升的过程。学生的基本作图也是随着思维水平的提升，逐步由简单走向复杂。

（一）画线一类作图体系

根据画线一类作图的要求，我们在对人教版教材作图知识内容梳理中，发现在低年级，教材加强对线段的直观感知，注重积累画线段的经验。学生进入四年级后，画线开始涉及直线和射线，从具体到抽象，实现知识增长的同时，慢慢形成了线领域的完整知识体系。

从上图的整理，我们发现，低年级学生主要是用刻度尺画线段，测量的长度单位有厘米、毫米和分米。我们还发现教材要求学生画的线段一般不会超过1分米，由于米和千米这两个长度单位较大，在六年级时教材才具体引入了按比例在图上绘制以米或千米为单位的线段，在低年级教材并不安排学生画。为了帮助学生更好地形成“以图识性”，因而教师可以结合学生认识“米和千米”这两个较大的长度单位时，为画线段做一下拓展，例如，在操场上测量长度或画较长的“线段”，教师也可以借助地图等材料帮助学生具体感知：当单位较大时按照一定的比例也可以在纸上作图，作为拓展性的课程进行，以此拓展学生的知识面。四年级则因为射线和直线概念的引入，要求学生会画直线和射线，掌握画两条互相垂直的直线。可见，四年级是个转折，从具体的长度（线段）到抽象的无限长，是学生观念上的一次飞跃，同时对学生“画线”操作活动要求更为密集。

（二）画角一类作图体系

通过整理可见，画角一类作图内容不断丰富，教材依据学生的身心发展和知识体系螺旋上升。用尺子画任意大小的角，这是对角的初步感知。利用三角板画直角，学生开始区别角有锐角、直角和钝角之分。随着角概念的深入发展，对学生画角要求较高，从画垂线段到图形中作高，再到使用量角器画指定度数的角，学生的画角学习路径其实是一个从“描角”到“设计角”的过程。

如图，我们发现：教材在对画角的要求上呈现鲜明的年级和年龄特征。二年级学生使用尺子画任意角，会用三角板画直角是对角的初步感知，是无须理解原理，处于直观感知阶段。随着年龄的增长，学生渐渐地从角的表象走向了角的特征与本质的认识，这一点可以从角的概念逐步抽象化过程中发现。四年级学生使用直尺和三角尺来画垂线和在图形中作高，这是需要依据“原理”来作图，处于直观形象的操作阶段。学生能按指定度数用量角器画角，画角的技能进一步提升。

（三）画平面图形一类作图体系

如下图所示：随着新教材改革对学生画平行线不做具体要求后，学生在画平面图形上的内容减少，难度也降低，只有两个侧重点：分别是画长方形和正方形以及使用圆规画圆和画圆中的一部分（扇形）。

通过整理，我们发现三年级画长方形与正方形更多的是借助格子图来“描”，这主要是因为学生对长方形和正方形特征认识处于以依据表象为主的直观感知水平。四年级则因为垂线概念的学习，学生集中要求掌握“画垂线”的技能，这时画长方形与正方形，是通过应用垂直原理来完成的一个综合任务，是学生理解原理后的画图技能的直接运用。六年级学习用圆规画圆和画圆中的一部分（扇形），是学生首次使用新的作图工具，画简单的曲线图形。

（四）图形运动一类的作图体系

图形运动方面作图内容主要集中在对点、线、面动态运动的理解上，涉及的作图知识主要有对称、平移与旋转，实现学生思维从静态空间到动态空间的提升，沟通点、线、面三个维度，从运动变化的角度去探索和认识空间与图形，建立起图形与几何教学所要求的空间观念和思维想象能力。

如上图所示，首先，图形运动方面的作图，因为从静态走向动态，是图形在空间变化位置的方式，是学生掌握“平行”“垂直”概念后的综合运用，所以教材集中编排在中高年级。其次，我们发现，所有的运动作图全部放在格子图中进行，这大大降低了学生作图的难度。另外，对称实则是对应点的运动，平移实则是对应线段的运动，而旋转其实是线的旋转带动角的旋转甚至带动形的旋转。学生只有加深体验与理解图形变换的特征，才能正确地作图。

二、 思考实践：学生作图能力培养策略

立体几何离不开图形，学好立体几何应从图形入手，学会畫图、视图、用图。笔者以为教师要高度重视基本作图教学，把基本图形教学落实到具体。要认识到培养空间想象能力，必须过好作图这一关，重视图形教学。

（一）基于概念理解的作图，提高作图学习的思维性

任何作图其实都是学生基于对概念的理解和掌握基础上进行的。为了帮助学生掌握作图，通过怎样的途径和方式能较好地帮助和促进学生理解概念，进而提高作图的能力呢？通过实践研究，我们发现，利用生活原型、巧设问题情境、借助变式教学，是在作图概念教学中帮助学生提高作图思维性的三条主要途径。

【平行四边形画高】教学策略

因为学生生活经验中的平行四边形大多是“底”平行于水平线的图形，为了丰富学生的数学经验，可以提供一些非标准图形。同样的一个平行四边形，位置发生变化，让学生分别作高，并追问“你发现了什么”。通过动手操作与思考，学生能体会到位置变了，但底和高的关系是不变的。

策略思考：对于学生来说，“高”是个抽象的概念。因此恰当运用变式与反例有助于学生理解。（如上图所示）学生从变式材料的各种属性中区分出本质属性和非本质属性，从而真正领悟作图技巧的本质内涵。教师指导学生作图，针对学习中容易出现的盲点，引发学生的认知冲突，激起学生深入探究的欲望，才能帮助学生灵活掌握作图特征。

（二）基于目标分层的作图，提升作图学习的层次性

作图教学不是简单的技能操作和训练，它是一种以内在思维活动为先导的认知活动。教师要关注技能背后的认知目标，把看似简单的一节课的学习目标置于整个学科体系视野下来考虑，有对于“学”的考量，针对学生不同层级的“学习目标”而开展系列的学习活动，进而不断提升学生作图学习的层次性。

【畫垂线】教学策略

①尝试画出已知直线（水平放置）的垂线。

反馈学生错误：要求学生思考怎样来验证所画的线是否垂直。

②巩固画法：分别过已知直线（水平放置）上一点和直线外一点画已知直线的垂线。

③变式练习：画已知直线的垂线。

对比思考：画已知直线的垂线，这条直线不管是否水平放置，所画的垂线与已知直线总是存在着怎样的关系？

④综合应用：画一个长4厘米，宽3厘米的长方形。

在平时画垂线的练习中，笔者观察到，当已知直线不是水平放置时，学生的画图工具往往在本子上转来转去，无所适从。从调查中，我们了解到，学生无所适从的原因是他们对“相互垂直”的概念往往习惯于“竖着”理解，当变化了直线的方向、位置，学生就会受标准情况的定势影响，发生错误。这就要求教师在设计作图学习时关注学习目标的层级，不仅要提供标准范式，还要变换材料的非本质属性，提供充分的变式让学生感知、比较。从不过点画垂线到过直线上一点画垂线，再到过直线外一点画垂线，最后画长方形或正方形。教学设计关注学习目标的层级，学生就像爬楼梯，拾级而上。

（三）基于作图技能的沟通，体现作图学习的联系性

通过研究，我们发现其实小学阶段的作图知识基本上都可以转化为已经学过的知识，是在已有的基础上不断增加应用的深度及灵活性。例如：画直角、画垂线与画高步步为营，画垂线又为画对称做好孕伏，画角其实与画旋转彼此相辅相成等。

为什么学生在画高的时候经常会出现错误？经过调查，笔者发现学生出现错误的原因在于对“高”的定义没有从本质上理解到位，他们不能正确地找到图形中的顶点及相应的对边，学生的操作是在模仿中进行的。

【画平面图形的高】教学策略

如下图所示，作高其实就是作垂线段，所以方法上与画垂线的步骤是一样的。笔者在教学时引导学生观察比较，反思后得出，画出相应平面图形的“高”，要注意三点。其一，它与对应的底边相互依存;其二，它不受图形旋转、位置变化的限制;其三，它是一条垂直线段，是有长度的。也就是在学生已有的画垂线基础上，运用迁移转化，进而继续学习图形中作垂线即作高。

策略思考：笔者启发学生回忆画“垂线”的方法，放手让学生利用知识的迁移画图形中的“高”，然后再通过板演画“高”的过程，组织学生讨论，总结画“高”的方法。此过程经历操作、观察、比较、交流、归纳等活动，让学生在主动探究中迁移了画法，进而逐步掌握画高技能。

经过课题组老师们的努力，我们欣喜地看到：不管是学生，还是老师，对数学基本作图都有了更进一步的认识。学生良好的作图习惯正在形成，用图表意的意识逐渐增强，依图解题的思维能力不断提升;同时教师的作图素养也有了极大的提高，促进了数学教学的长足进步。

参考文献：

[1]斯苗儿.小学数学课堂教学案例透析[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]任敏龙.基于原型的“发生式学习”：以教学“角的初步认识”为例[J].小学数学教师，2011（11）.

作者简介：

邵亚飞，浙江省杭州市，浙江省杭州市萧山区南阳小学。