白瑞蒲，周 檬，赵勇涛

(1.河北大学数学与信息科学学院，河北 保定 071002；2.河北省机器学习与智能计算重点实验室，河北 保定 071000；3.河北软件职业技术学院软件技术系，河北 保定 071000)

1 预备知识

3-李代数[1-3]在很多领域有着广泛的应用.本文对3-李代数的结构进行研究，在3-李代数中提出新的概念：Perfect理想、Near Perfect理想以及Upper Bounded理想，并对其结构进行了研究.

3-李代数[1]L是域F上具有线性运算[，，]：L∧L∧L→L的线性空间，且满足∀x1，x2，x3，y2，y3∈L，

[[x1，x2，x3]，y2，y3]=[[x1，y2，y3]，x2，x3]+[x1，[x2，y2，y3]，x3]+[x1，x2，[x3，y2，y3]].

如果L的子空间I满足[I，L，L]⊆I，则称I是L的理想.对任意自然数k，记：

L(0)=L，L(1)=[L，L，L]，…，L(k)=[L(k-1)，L(k-1)，L(k-1)]；

L0=L，L1=[L，L，L]，…，Lk=[Lk-1，L，L].

由上述定义可知L(k)和Lk分别为L的理想，且满足：

L(0)⊇…⊇L(k-1)⊇L(k)⊇L(k+1)⊇…；L0⊇L1⊇…⊇Lk-1⊇Lk⊇Lk+1⊇….

如果存在自然数k，使得L(k)=0，则称L为可解3-李代数；如果存在自然数s使得Ls=0，则称L是幂零3-李代数[2].当dimL<∞时，存在自然数a，b，使得L(a-1)≠L(a)=L(a+1)，Lb-1≠Lb=Lb+1，则称a为L的导序列长度，b为L的下降中心列长度.

2 主要结论

2.1 Perfect理想与Near Perfect理想

定义2.1 设I是3-李代数L的理想.若I满足I=[I，I，I]，则称I是L的Perfect理想.

例2.1 设L=A1⨁…⨁An是域F上4n维3-李代数，n≥2.{ei1，ei2，ei3，ei4|1≤i≤n}是L的一组基，其中ei1，ei2，ei3，ei4分别为Ai的基，1≤i≤n.L的乘法为[ei2，ei3，ei4]=ei1，[ei1，ei3，ei4]=ei2，[ei1，ei2，ei4]=ei3，[ei1，ei2，ei3]=ei4，[Ai，Aj，L]=0，1≤i≠j≤n.则每个Ai(1≤i≤n)都是A的Perfect理想.

定理2.1 如果I，J是L的Perfect理想，那么I+J也是L的Perfect理想.

证明因为I和J都是L的理想，所以I+J是L的理想，且[I+J，I+J，I+J]=[I，I，I]+[J，J，J]=I+J，所以I+J也是Perfect理想.

记L的极大Perfect理想为P(L).

定理2.2 设L的导序列长度为a，则L(a)=P(L).因此，L可解的充要条件是P(L)=0.

证明由L(a)的定义可知，L(a)是L的Perfect理想，所以L(a)⊆P(L)=[P(L)，P(L)，P(L)]⊆[L，L，L]=L(1).对k用归纳法，假设P(L)⊆L(k-1)，从而P(L)⊆[L(k-1)，L(k-1)，L(k-1)]=L(k).所以P(L)⊆L(a)，证得P(L)=L(a).

定理2.3 设I是L的Perfect理想，则在L/I的Perfect理想与L包含I的Perfect理想之间存在一一对应，且对包含I的理想J，J/I是L/I的Perfect理想，当且仅当J是L的Perfect理想.

证明对包含I的理想J，如果J是Perfect理想，易见J/I是L/I的Perfect理想.

反之，如果J/I是L/I的Perfect理想，任取y∈J，∃y1，y2，y3∈J，使得

y+I=[y1+I，y2+I，y3+I]=[y1，y2，y3]+I，

因此y=[y1，y2，y3]+u，u∈I.对于I⊆J，I=[I，I，I]，有y∈[J，J，J]，所以J=[J，J，J].

定理2.4 对任意3-李代数L，L/P(L)是可解3-李代数.

证明因为P(L)是L的极大Perfect理想，由定理2.3可知，L/P(L)没有真Perfect理想.因此P(L/P(L))=0.再由定理2.1可知，L/P(L)是可……