孙玉虎，王 龙

(1.中国矿业大学 徐海学院，江苏 徐州 221008；2.扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002)

1 预备知识和引理

本文中R表示一个有单位元的结合环，如果存在一个元素x∈R使得方程(1)axa=a成立，则称元素a(von Neumann)正则。此时，元素x被称为a的内逆(或者a的{1}-逆)，用符号a(1)(或者a-)来表示。本文中用符号Reg(R)来表示环R中所有正则元素的集合。如果Reg(R)=R，则称环R为正则环。通常一个正则元可能有不止一个内逆，我们用符号a{1}来表示元素a的所有内逆的集合。若存在一个元素x∈R使得方程(2)xax=x成立，则称元素x是a的一个外逆(或者a的{2}-逆)，用符号a(2)(或者a=)来表示。如果存在一个元素x∈R既是a的内逆又是a的外逆，此时称x∈R为a的自反逆。我们用符号a(1,2)来表示a的自反逆，用符号a{1,2}来表示元素a的所有自反逆的集合。

最近的文章中，作者Alahmadi等人证明了如下的结果(见[1，定理7，定理10])。

引理1假设R是一个半素环，a和b为环中两个正则元。如果a{1}=b{1}或者a{1,2}=b{1,2}，则a=b。

随后，T.K.Lee将该结果推广(见[2，定理2.3])。

引理2假设R是一个半素环，a和b为环中两个正则元。如果a{1,2}⊆b{1,2}，则a=b。

在文献[3，推论1.8]中，T.K.Lee又讨论了{2}-逆的包含性质。

引理3假设R是一个半素环，a和b为环中两个正则元。如果a{2}=b{2}，则a=b。

2 主要内容

本文将继续研究环中广义逆包含性质，我们将上述的结果从半素环推广到幂等自反环的情形下。本文中，符号E(R)表示环中了所有的幂等元之集。对于环中元素a和幂等元e，如果aRe=0蕴含着eRa=0，此时称环R为左幂等自反环[4]。类似的，如果eRa=0蕴含着aRe=0，此时称环R为右幂等自反环。若环R既是左幂等自反环又是右幂等自反环，则称R是幂等自反环。……