韩 笑, 张敏行

(吉林大学 数学学院, 长春 130012)

Black-Scholes-Merton期权定价模型[1-2]是现代期权定价分析的基础, 传统的期权定价模型通常假设市场利率为一个常数, 但这与利率服从随机过程的金融市场实际情况不符. 基于此, 文献[3]提出了Vasicek模型, 有效刻画了具有均值回归特性的市场随机利率; 文献[4]研究表明, 在随机利率的条件下可通过计价单位转化推导期权的定价公式; 文献[5]研究表明, 利用计价单位转化方法, 可以降维简化期权定价的偏微分方程.

有限差分法是偏微分方程数值解的一种重要方法. 本文分别采用显式有限差分法与精度更高的Crank-Nicolson差分法[6], 讨论简化后定价方程的差分迭代格式, 并分别验证差分格式的稳定性.

1 随机利率模型

的适应过程, 在风险中性假设下服从如下随机微分方程:

dr(t)=μ(t,r(t))dt+σ(t,r(t))dWt,

这里μ(·),σ(·)是关于t和r(t)的确定性函数, {Wt,t≥0}是标准Brown运动.

零息债券是一张在到期日T可以获得1单位现金的债券, 是市场中的一种基本金融产品. 将t时刻零息债券的价值记为P(t), 则P(t)满足

从而

Vasicek模型[3]很好地刻画了短期利率的均值回复性, 是目前常用的随机利率模型. Vasicek模型假设随机利率服从如下随机微分方程:

drt=a(b-rt)dt+σdWt,

其中a,b,σ均为正常数. 此时市场上零息债券的价值服从如下反抛物型方程的Cauchy问题:

假设市场上风险资产(例如股票)的价值为S(t), 则S(t)服从如下随机微分方程：

其中r(t)为市场上的随机利率,σ1为确定性常数, 刻画风险资产价值的波动率, {Zt,t≥0}是标准Brown运动, 且

Cov(dWt,dZt)=ρdt.

设t时刻期权的价值为V(t,rt,St), 在风险中性条……