刘子健, 桂尚珂, 陈 硕, 杨 凯, 金虹桥

(长春工业大学 数学与统计学院, 长春 130012)

整数值时间序列广泛应用于通信保障、医疗卫生、保险精算等领域. Al-Osh等[1]提出了一阶整数值自回归模型； 对于取值范围无上限的相依计数数据, Du等[2]提出了p阶整数值自回归模型, 即INAR(p)模型； Neal等[3]和张哲等[4]先后研究了该类模型的估计问题； 对于有上限的整数值时间序列, 例如某个城市的失业人口数等, McKenzie[5]提出了一阶整数值二项自回归模型, 即BAR(1)模型; Weiβ[6]研究了BAR(1)模型的性质并将其推广到高阶情形.

1 模型的定义和性质

1.1 模型的建立

定义1设{Xt}是非负整数集上的时间序列, 若

(1)

设{Dt}是一个随机变量, 且与{Xt-l}l≥1独立, 满足P(Dt=1)=1-P(Dt=0)=p, 即Dt～B(1,p), 则MBAR(1)模型可等价表示为

Xt=Dt·(α1∘Xt-1+β1∘(n-Xt-1))+(1-Dt)·(α2∘Xt-1+β2∘(n-Xt-1)).

(2)

由式(2)可知, MBAR(1)过程的转移概率为

(3)

1.2 MBAR(1)的随机性质

命题1模型(1)定义的MBAR(1)过程是遍历的, 且有唯一的平稳分布.

证明: 由模型(1)可知, MBAR(1)过程{Xt}是状态空间I={0,1,…,n}上的Markov链. 由式(3)可知, MBAR(1)过程的转移概率pk|l恒大于0, 即{Xt}是一个不可约且非周期的Markov链. 又因为I是一个有限集合, 故模型(1)是正常返的. 从而MBAR(1)过程是遍历的, 且存在唯一的平稳分布.

命题2设{Xt}是模型(1)的平稳解, 则对于t≥1, 有：

证明： 只需证明式(7),(8). 首先证明式(7). 由条件方差公式可知,

在平稳意义下, 有Var(Xt)=Var(Xt-1), 于是

其次证明式(8). 直接计算可得

2 参数估计

本文采用极大似然法进行参数估计. 设{X1,X2,…,XT}为来自MBAR(1)过程的一组样本, 令θ=(α1,α2,β1,β2,p)T为待估参数. 则样本的对数似然函数为

(9)

(10)

(11)

其中θ0为参数真值,I(θ)为Fisher信息阵.

证明： 首先, 需验证文献[11]中的条件5.1是否成立:

1) 令(k,l)∈D, 使得pk|l(θ)>0且不依赖于参数θ, 其中D∶=I×I;

2) 每个转移概……