杜佳慧, 刘 敏

(长安大学 理学院, 西安 710064)

Quantale理论是理论计算机科学的数学基础之一, 应用广泛[1-3]. Quantale可视为Locale的一般化, 其可为非交换的C*-代数提供一种新的格式刻画, 并为量子力学提供新的数学模型[4-5]. 文献[6-7]对Quantale理论进行了系统研究.

目前, 关于Z-集系统的研究已有很多结果. Wright等[8]提出了Z-集系统的概念; Bandelt等[9]引入了Z-连续偏序集的概念并讨论了其一系列基本性质； 赵东升等[10]从范畴的角度对一类Z-集系统给出了Z-连续偏序集的一个范畴特征； 文献[11]将集系统的概念应用到Frame理论中, 引入了Z-frame的概念； 文献[12-13]进一步研究了Z-frame及其范畴性质； 文献[14]把集系统的概念应用到Quantale理论中, 作为Quantale的一般化引入了Z-Quantale的概念, 并研究了Z-Quantale及其范畴性质； 文献[15]通过对Z-Quantale的进一步研究, 证明了交Z-Quantale的所有Z-闭子集构成的集合在包含序下是Frame, 并讨论了交Z-Quantale上的核映射、商、同余之间的关系, 进一步证明了Quantale范畴是Z-Quantale范畴的反射子范畴.

Quantale的表示是Quantale研究的一个重要方面. Rosenthal[7]证明了每个关系Quantale都同构于半群构成的幂集Quantale的商Quantale; Brown等[16]研究了单位Quantale的表示, 证明了每个单位Quantale都同构于一个关系Quantale; Valentini[17]给出了与文献[16]类似的结论, 但文献[16]中单位QuantaleQ可嵌入到以包含序为序关系的Quantale中, 而文献[17]中单位QuantaleQ可嵌入到以反包含序为序关系的Quantale中； 在此基础上, Kaarli等[18]给出了Integral Quantale的关系表示. 受上述工作的启发, 本文讨论单位Z-Quantale的表示问题, 给出单位Z-Quantale的映射表示和关系表示, 并讨论单位Z-Quantale范畴及关系Z-Quantale范畴之间的关系.

1 预备知识

定义1[19]设(S,·)是半群. 如果(S,≤)是偏序集, “≤”关于半群……