张艳妮, 周 冉, 陈霄雨

(1. 吉林建筑科技学院 基础科学部, 长春 130114； 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012； 3. 海军航空大学青岛校区 基础教研室, 山东 青岛 266041)

0 引 言

群聚现象也称为协调运动[1-2], 在生物、物理、化学及社会经济系统等领域普遍存在. 例如: 冬季南飞的大雁以一致的速度向同一方向飞行; 鱼群、羊群向相同方向结群运动; 人类语言由呼叫声和肢体语言向语言的演化等[3-5]. Vicsek等[6]从统计物理的角度首次提出了描述动物群体行为的数学模型; Cucker等[7]基于简单的速度匹配思想建立了如下Cucker-Smale模型(简称C-S模型):

其中:λ表示耦合强度, 当λ>0时表示第i个和第j个个体相互吸引, 当λ<0时表示第i个和第j个个体相互排斥;aij(t)表示第i个和第j个个体之间相互作用, 计算公式为

Ha等[8-9]研究了一类具有加性白噪声的随机C-S模型, 证明了在给定的模型结构下不会出现强群聚现象； Ahn等[10]考虑一类具有乘性白噪声的随机C-S模型, 在权重函数有非负下界的条件下, 证明了系统呈强随机群聚行为.

本文主要考虑如下具有乘性白噪声扰动的随机种群模型：

(1)

其中: (xi,vi)∈2d,xi(t)和vi(t)分别表示第i个个体在t时刻的位置和速度状态;λ>0表示耦合强度;Ψ(|xj-xi|)是衡量个体间相互影响的交流权重函数,Ψ(s)是单调不增的C1类函数;D≥0表示噪声强度; dW(t)表示白噪声, 其期望为0, 且〈dW(t)·dW(t*)〉=δ(t-t*), 〈 〉表示求期望；gi(v)dW(t)是乘性白噪声,gi(v)=vi-ve,ve是d中的常向量.

定义1如果系统(1)的任何解(xi(t),vi(t))(i=1,2,…,N)都满足下列条件：

则称系统(1)呈强随机群聚行为.

本文研究系统(1)的强随机群聚行为. 首先, 考虑两个个体的群聚模型强随机群聚行为; 其次, 对N个个体群聚模型(1), 在交流权重函数有正下界的条件下, 证明其呈强……