王铭健，胡煜寒，武力兵

（辽宁科技大学 理学院，辽宁 鞍山114051）

随着新型冠状肺炎疫情的持续影响，校园内的传染病防控成为社会关注的重点。从数学角度分析传染病的传播规律是一种科学的研究方法，以微分方程为基础的传染病动力学模型已经成为预测传染病规模和评估传染病风险的重要手段之一。已有研究表明［1-4］，环境因素会对传染病的传播起到干预作用。陈田木等［5］采用SIQR（Susceptible infectious quarantined recovered）模型评估一起校园内急性出血性结膜炎疫情的隔离效果。在无干预情况下，全校人群的罹患率将达到99.73%，采取干预措施后疾病的爆发规模大幅度降低。张亚楠等［6］采用SIR（Susceptible-infectious-recovered）模型，将人群分为环境卫生条件好和环境卫生条件差两组，分析无隔离措施下的人群患病率。结果表明，环境卫生条件好的人群占比越大，发病高峰越低，患病率越小。经典SIR模型的缺陷在于不能够充分地描述隔离措施、病情潜伏期等实际情况［7］。隔离可以有效防止疫情的蔓延，因此具有隔离措施的SIQR传染病模型被广泛应用［8-10］。本文以2011年长沙市某校爆发的急性出血性结膜炎疫情为例，将人群分为环境卫生条件好和环境卫生条件差两组，建立具有环境差异的分组SIQR模型，评估校园传染病爆发的规模和风险。

1 具有环境差异的SIQR模型

校园环境相对封闭，人群接触较为密切。校园常见的传染病，如流感、水痘、急性出血性结膜炎等疾病，具有传播速度快、潜伏时间短、致死率较低的特点。在校园环境中，假设校园内总人数为N，学生的转入、转出以及出生率、死亡率忽略不计，依据当前环境分为两组，一组是环境卫生好的人群N1，另一组是环境卫生差的人群N2，并且两类学生以比例混合的方式接触［11］。

具有环境差异的分组SIQR模型：环境卫生好环境卫生差

式中：Si(t)表示t时刻第i组易感者的数量；Ii(t)表示t时刻第i组感染者的数量；Qi(t)表示t时刻第i组隔离者的数量；Ri(t)表示t时刻第i组恢复者的数量；cij为第i组成员与第j组成员的接触比例，即cij=Nj/(Ni+Nj)，i,j=1,2；定义ε为感染者被隔离的比率，即隔离率；r为感染者的恢复率；φ为隔离者的恢复率。

假设传染病是通过易感者与感染者的接触来传播。当易感者与感染者接触后，根据自身免疫能力，有一定的概率成为感染者，α表示环境卫生条件差的传染病传播速率，该环境标准发病率为αSI/N。δ为传染病传播的抑制率，表示由于环境因素所降低的感染率，则环境卫生条件好的群体传染病传播速率为αδ，该环境标准发病率为αδSI/N。

2 平衡点及基本再生数

2.1 平衡点的存在性

所有参数均为非负变量，考虑到实际意义，需要在可行域

内进行定性分析。为了得到模型的无病平衡点，令模型（1）和（2）中的方程等于0，可得

即模型（1）和（2）存在唯一非负平衡点

2.2 基本再生数

利用下一代矩阵法［12］计算式（3）和式（4）的基本再生数。在初始时刻S(0)=N,S1(0)=N1,S2(0)=N2，令

则原系统可以被写作

通过式（5）可以得到

由式（6）和式（7）求出矩阵FV-1的特征方程

由于两种习惯人群以比例混合的方式接触，则c11c22=c12c21，所以有

λ的最大值即模型（1）和（2）的基本再生数

基本再生数越小，越有利于对传染病的控制，当R0＜1时传染病会逐渐减小直至消亡。

3 仿真实验

选取2011年长沙市某校急性出血性结膜炎疫情数据进行MATLAB仿真实验。全校共740人，假设初始感染者人数为50人，其余皆为易感者。急性出血性结膜炎的感染期为7至10天，选取1/r=8，即感染者的恢复率r=0.125，通过最小二乘法模拟得到传染率α=0.048。

选取两组环境卫生条件人数的比值N1∶N2=3∶1，传染病传播的抑制率δ为0.5，感染者的恢复率r和隔离者的恢复率φ均为0.125，隔离率ε为0.5。有无隔离时感染人数随时间变化如图1所示。两组曲线趋势一致，峰值同步出现，但感染者峰值以及感染者全部康复的时间明显不同。有隔离措施时，随着时间推移，感染人数在快速增长，在第11天达到峰值，为160人；高峰过后感染者的人数逐渐回落，在40天后感染者全部康复。无隔离措施时，感染者峰值为262人，在60天后感染者全部康复，有隔离后最大感染人数下降了38.94%。无隔离时感染者最终规模是4 842，有隔离时感染者最终规模是2 690，有隔离后最终规模下降了44.44%。因此，隔离措施可以有效降低感染者的峰值和最终规模。

图1 有无隔离时感染人数随时间变化Fig.1 Infected numbers with and without quarantine

选取两组环境卫生条件人数的比值N1∶N2=3∶1，传播的抑制率δ为0.9，感染者的恢复率r和隔离者的恢复率φ均为0.125，隔离率ε在0到0.9之间变化。不同隔离率时的最大感染人数如图2所示。隔离率ε从0增加到0.3时，最大感染人数急剧减少；当隔离率ε大于0.3后，最大感染人数无明显变化。因此，选取适当的隔离措施，例如实施单人隔离，禁止患者外出、探视，严格执行消毒措施等，使至少30%的感染者进入隔离状态，感染规模就可以控制在较低范围。

图2 不同隔离率时的最大感染人数Fig.2 Maximum infected numbers at different quarantine rates

选取两组环境卫生条件人数的比值N1∶N2=3∶1，传播的抑制率δ为0.9，感染者的恢复率r和隔离者的恢复率φ均为0.125，不同隔离率时感染人数随时间的变化如图3所示。随着隔离率ε由0增加到0.9，感染者全部康复时间由60天逐渐缩短至21天，感染人数也在大幅度减少。说明隔离措施可以有效抑制传染病的传播。

图3 不同隔离率时感染人数随时间的变化Fig.3 Infected numbers over time at different quarantine rates

4 结论

本文建立了具有环境差异的SIQR模型，将人群分为环境卫生条件好与环境卫生条件差两组，选取2011年长沙市某校急性出血性结膜炎疫情数据，仿真分析有隔离和无隔离、不同隔离率的感染人数，以及不同隔离率时感染人数随时间的变化。两组环境卫生条件人数的比值为3∶1时，有隔离时疾病传播的最大感染人数较无隔离时下降了38.94%，最终规模下降了44.44%，康复时间从60天缩短至40天。隔离率从0增加到0.3时，最大感染人数急剧减少，当隔离率大于0.3后，最大感染人数无明显变化；随着隔离率由0增加到0.9，感染者全部康复时间由60天逐渐缩短至21天。因此，隔离措施可以有效降低最大感染人数和最终规模，选取适当的隔离措施，使隔离率达到0.3，感染规模就可以控制在较低范围，加大隔离力度可以大幅度缩短传染病的持续时间。