王 静,张晓平

(武汉大学数学与统计学院,湖北 武汉 430072)

1 引言

扩散过程是自然界中一种常见的现象.早在1785年,Jan Ingenhousz就描述过煤尘在酒精表面的扩散现象,后来罗伯特布朗称这种现象为布朗运动,傅里叶在《热的解析理论》一文中实现了对热量扩散过程的数学刻画.之后,经典扩散过程的数学模型成为了分析许多自然现象的有利工具.例如,菲克利用二阶扩散方程用来描述营养物质在细胞膜内的传输过程;爱因斯坦从第一原理出发间接证明了分子和原子的存在;巴舍里结合随机分析将二阶扩散方程成功运用到了股票和期权市场.这些模型都有一个共同的假设:随机过程都满足经典的高斯分布.

然而,自然界中有许多复杂的扩散现象并不满足上述假设.大量的实验和研究表明,许多复杂系统的扩散过程不再具有高斯统计性.例如,生物学家观察到在某些海岛如西西里岛中每只海鸟的运动轨迹就无法用布朗运动模型来描述[1],这样的扩散现象通常被称为反常扩散[2].反常扩散广泛存在于多孔介质[3],图像分析[4],固体表面扩散[5],非菲克扩散湍流[6-8]等领域中.对于这些反常扩散过程,通常可以用分数阶扩散方程来进行数学刻画.因此,研究分数阶扩散方程具有重要的物理意义和现实意义:一方面,可以更加深刻地理解反常扩散中L´evy飞行[1,9]等物理现象;另一方面,还可以为实际工程应用提供决策依据.其中分数阶拉普拉斯算子−(−Δ)α/2,α∈(0,2)作为模拟……