李东方，刘会彩，张 锦

(1.许昌电气职业学院公共教学部，许昌 461000；2.聊城大学数学科学学院，聊城 252059)

文[1]中，程代展给出了一种新的矩阵乘法——矩阵的左半张量积，并给出了它在Morgan问题中的应用.随后，程代展研究员把它应用于几何、代数、逻辑、图论、动态系统、故障检测、模糊控制、非线性控制等领域，效果显著，取得了丰硕的成果，并把部分成果总结于文献[2-3]中。在文献[4]中，程代展、齐洪胜、贺风华等把半张量积方法应用于有限集上的映射表示及动态系统的演化规律及控制，利用新的工具，从新的角度审视，给出了一系列新的结果。在文献[5-13]中，程研究员等把半张量积应用于布尔网络控制，先构造了它的代数形式，然后再返回逻辑形式。这与传统的直接构造布尔网络的逻辑动态方程的方法截然不同。

本文把程代展研究员定义的矩阵左半张量积应用于线性映射中，从新的视角解决了几类复杂的线性映射的矩阵表示问题，让我们看到了用半张量积研究线性映射的优越性。

1 预备知识

给定矩阵A∈Mm×n,B∈Mp×q，如果n=tp，我们记为A≻tB；反之，如果nt=p，我们记为AtB。那么左半张量积有如下等价定义：

定义1.3[2]换位矩阵W[m,n]是一个mn×mn矩阵，定义如下：它的行和列都是有双指标(i,j)标注，列是按照索引Id(i,j;m,n)排列，行是按照索引Id(J,I;n,m)排列，并且位于[(I,J),(i,j)]上的元素的值为

可以看出换位矩阵W[m,n]总是一个正交矩阵。

定理1.2[2]设A∈Mm×n,X∈Mn×q,Y∈Mp×m，则有Vr(AX)=A▷Vr(X)，Vc(YA)=AT▷Vc(Y)。

定理1.3设A是一个m×n维矩阵，则有(1)Vr(A)=Vc(AT),Vc(A)=Vr(AT)；

(2)W[m,n]Vr(A)=Vc(A),W[n,m]Vc(A)=Vr(A)。

推论1设A是一个m×n维矩阵，则有Vc(AT)=W[n,m]Vc(A),Vr(AT)=W[m,n]Vr(A)。

证明由定理1.3直接可得。

定理1.4[2]设A∈Mm×n,B∈Mp×q，则有A⊗B=W[p,m]▷B▷W[m,q]▷A=(Im⊗B)▷A。

特别地，有W[p,m]▷B▷W[m,q]=(Im⊗B)。

定理1.5[2]设A∈Mm×n,B∈Mp×q，则有