郑秀敏，占美龙

(江西师范大学数学与统计学院，江西 南昌 330022)

1 引言与结果

本文中，我们使用Nevanlinna理论的标准记号和基本结果(见文[1-3])。若无特殊说明，亚纯函数是指在整个复平面上亚纯的函数。我们用记号σ(f)表示f(z)的级，用记号λ(f-c)表示f(z)-c的零点收敛指数，其中c∈∪{∞}。

众所周知，在亚纯函数值分布理论的研究中，微分多项式的值分布研究是一个经典问题。该问题源自W.K.Hayman在文[4]中提出的猜想:当f(z)为超越亚纯函数且n∈+时，f(z)nf′(z)取任意非零复数无穷多次。随后，许多学者致力于对复差分多项式的值分布进行研究，得到了许多有意义的结果。这些结果可视为相应复微分多项式值分布结果的差分模拟。其中，文[5]和文[6]中的结果可以看作是上述W.K.Hayman经典结果的最直接的差分模拟结果。2014年，郑秀敏和徐洪焱在文[7]中研究了Valiron-Mokhon’ko定理的微分-差分模拟结果，并运用该结果研究了某类微分-差分多项式的亏量。同时，上述结果可进一步推广至q-差分情形和q-平移差分情形，具体可见以下两个结果。

2011年，刘凯和祁小光在文[8]中研究了q-平移差分多项式f(z)nf(qz+η)的值分布，得到了以下结果。

定理A[8]设f(z)为零级超越亚纯函数，q为非零复常数。则当n≥6时，q-平移差分多项式f(z)nf(qz+η)取任意b∈{0}无穷多次。

2013年，涂金和郑秀敏在文[9]中将条件“n≥6”减弱到“n≥5”，改进了定理A。

注意到定理A中考虑的是f(z)具有零级的情形。由此，我们自然提出问题:当f(z)具有正有穷级时，结果又会怎样?对于该问题，徐娜等在文[10]中研究了q-差分-微分多项式[f(z)f(qz)](k)的值分布，其中f(z)为具有正有穷级的超越整函数，得到结果如下。……