王爱钧， 廖群英

（四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066）

1 序言及主要结果

熟知，正整数n的欧拉函数φ（n）的值等于序列1，2，…，n中与n互素的整数个数［1-4］.文献［5-8］定义了正整数n的广义欧拉函数

此后，欧拉函数的研究变得更加丰富.吕志宏［9］研究了方程φ（n）＝2ω（n）和φ（φ（n））＝2ω（n）的可解性（ω（n）为正整数n的所有不同素因子个数）；马静［10］研究了方程φ（n）＝2tω（n）的可解性（t为正整数）；Zhang等［11］研究了方程φ（φ（n））＝2Ω（n）的解，并给出了该方程的全部奇数解，其中Ω（n）为正整数n的全部素因子个数（按重数计算）；田呈亮等［12］研究了方程φ（φ（n））＝2Ω（n）的可解性，并且给出了该方程的全部正整数解；俞红玲 等［13］研究了方程φ2（n）＝2ω（n）和φ2（φ2（n））＝2ω（n）的可解性，并且给出了这2个方程的全部正整数解；金明艳等［14］给出了方程φ2（n）＝2Ω（n）和φ2（φ2（n））＝2Ω（n）的全部正整数解.本文在此基础上，进一步研究方程

下面的定理1.1～1.4是对方程（1）的讨论，定理1.5～1.9则是对方程（2）的讨论.

定理1.1若αi＝0（1≤i≤k），或α≥2且αi≥1（1≤i≤k），则方程（1）无解.

定理1.2若α∈｛0，1｝且存在pi≡1（mod 3），则方程（1）有解，当且仅当α＝0，此时恰有唯一解n＝73.

定理1.3若α＝0且pi≡2（mod 3）（1≤i≤k），则如下条件之一成立时，方程（1）无解：

1）βj＝0（1≤j≤m）；

2）存在qj≡1（mod 3），或α0≥2且qj≡2（mod 3）（1≤j≤m）.

定理1.4若α＝1且pi≡2（mod 3）（1≤i≤k），则如下条件之一成立时，方程（1）无解：

1）βj＝0（1≤j≤m）；

2）存在qj≡1（mod 3），或α0≥2且qj≡2（mod 3）（1≤j≤m）.

定理1.5若αi＝0（1≤i≤k），则方程（2）无解.

定理1.6若α≥2且αi≥1（1≤i≤k），则如下条件之一成立时，方程（2）无解：

1）βj＝0（1≤j≤m）；

2）α0＝0，且βj≥1（1≤j≤m）.

定理1.7设α∈｛0，1｝且存在素数pi≡

1（mod 4）（1≤i≤k）.

1）若βj＝0（1≤j≤m），则方程（2）无解；

2）若α0＝0且βj≥1（1≤j≤m），则方程（2）的全部正整数解为n＝53 298.

定理1.8若α＝0且pi≡3（mod 4）（1≤i≤k），则如下条件之一成立时，方程（2）无解：

1）βj＝0（1≤j≤m）；

2）α0＝0，且βj≥1（1≤j≤m）.

定理1.9设α＝1且pi≡3（mod 4）（1≤i≤k），则如下条件之一成立时，方程（2）无解：

1）βj＝0（1≤j≤m）；

2）α0＝0，且βj≥1（1≤j≤m）.

2 主要结果的证明

为证明本文主要结果，需要以下几个引理.

（b）当b＝0时，等式化为（4t＋3）β－1（2t＋1）＝3，得到β＝1，t＝1，或β＝2，t＝0.又由于β为奇数，故β≠2，即β＝1，t＝1，则q＝7.

2）当β为偶数时，原方程等价于（4t＋3）β－1（2t＋1）＝2·3b－1.

（a）当b≥1时……