王彩宇 常 玉 陈晓楠

(北京化工大学 数理学院, 北京 100029)

引 言

近年来，关于考虑恐惧效应对生态系统种群的影响的研究成为新的热点。恐惧效应是猎物持续心理压力的表现，已有研究表明，它可以减少猎物的觅食时间、转移其觅食区域，使猎物的生长率、繁殖率降低，从而间接影响猎物的种群数量[1-4]。恐惧效应通常可用满足一定条件的函数f(k,y)表示，这里k为恐惧系数，y为捕食者种群密度。2016年，Wang等[5]首次建立了二维带恐惧效应的捕食者-被捕食者模型，研究表明恐惧效应可影响周期轨的稳定性。随后， Panday等[6]建立了第一个三维带恐惧效应的三物种食物链模型，从理论上分析了解的边界性、持久性及平衡点的存在性，并通过数值模拟发现，随着恐惧系数ki(i=1,2)的增大，三物种种群密度可由混沌变为稳定的周期性振荡直至达到定态平衡。

本文以文献[6]中带恐惧效应的三物种食物链模型为研究对象，运用中心流形定理和分支理论讨论了模型中的局部分支问题，从理论上严格证明了supercritical Hopf分支、subcritical Hopf分支、transcritical分支和saddle-node分支的存在性。研究结果表明分支是引起种群失稳、产生周期性振荡的根本原因，从而揭示了恐惧效应是维持种群稳定的重要因素，进一步丰富和完善了恐惧效应对三物种食物链模型中种群动态影响的研究。

1 理论分析

1.1 带恐惧效应的三物种食物链模型

考虑如下模型[6]

(1)

1.2 平衡点的存在性与稳定性

本文选取k1为分支参数，结合模型的实际意义，取k1∈(0,10)，x、y、z为非负数……