张娜

等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角平分线相互重合，我们将等腰三角形的这一特性称为“三线合一”，具体可以归纳如下：如图1所示，在△ABC 中，AB = AC，D 为BC 上一点，下列三个条件中：（1）∠BAD =∠CAD ;（2）AD ⊥ BD ;（3）BD = CD ，满足其中任意一个条件时，都能直接推出其余两个条件成立.由此可见，等腰三角形“三线合一”的性质是一个多功能的性质定理，是解答几何问题的有效策略，可用于证明两角相等或倍分，证明线段相等或两线互相垂直等.

“三线合一”是等腰三角形的重要性质，因此，运用这个性质的前提一定是在等腰三角形中，其它三角形并不適用.所以，对于某些几何问题，若题目并没有明确给出等腰三角形，则可适当添加辅助线，巧妙构造等腰三角形，再运用“三线合一”性质解题.在运用这一性质解题的过程中应注意以下几点：

1.等腰三角形是轴对称图形，因此常用的辅助线作法有三种：作等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高线、底边上的中线.

2.注意定理中条件和结论之间的互换性，即若三角形的三线中有两线重合，则可得到此三角形必是等腰三角形.以上情况可简称为“二合一则等腰”，这可作为等腰三角形的一种判定方法.

3.若在三角形中出现了高线、中线或角平分线时，有时可以延长某些线段以构造等腰三角形，然后用“三线合一”定理去处理.

下面我们结合几道例题，说明等腰三角形“三线合一”的性质在几何证明题中的应用方法.

例1 如图2，在五边形 ABCDE 中，∠B =∠E，∠C = ∠D，BC = ED，M 为 CD 的……