基于人群密度的随机人群荷载模型研究

2021-11-10王双旭

振动与冲击 2021年20期

郭瑞，任宇，王双旭,3，潘毅

(1.西南交通大学土木工程学院，成都 610031；2.西南交通大学抗震工程技术四川省重点实验室，成都 610031；3.天津市市政工程设计研究院，天津 300392)

近年来，过街天桥和景区玻璃栈道等交通设施在城市中大量修建。这些结构往往向着纤细、大跨和轻质的方向发展，导致其对随机人群荷载更为敏感，从而可能引发各种各样的结构振动问题[1-5]。同时当人群密度过高时，随机人群荷载在行人个体之间的差异(如身高、体重和行走习惯等)和人群不规律行走的因素下，其对结构振动的影响会更为显著[6]。

目前，国内外对于随机人群荷载作用下结构产生振动的问题具有一定研究。Sachse等[8]设计了有阻尼双自由度的人群-结构相互耦合的动力系统模型，较好地解释了留驻人群的作用下结构振动特性的改变。高延安等[9]利用拉格朗日方程创建的多人行走状态下人群-结构相互作用的动力学模型，发现结构的振动响应随着人数的增加而升高。操礼林等[10]研究了人群随机行走与桥振动响应之间的关系，观察到随着人群密度的提高，桥竖向峰值加速度和均方根值加速度都表现出先增大、后减小的规律。李昆明等[11]认为人群荷载模型应考虑行人的随机性及协同性，并在高密度人群下的计算中有必要引入协同率以量化协同效应的影响。陈隽等[12]考虑人群的协同性，得到人群Bounce荷载下结构动力响应的快速计算方法。但既有的随机人群荷载模型均未考虑人群随机行走时，人群密度的改变会导致人群同步率与人群步频的变化。

针对上述研究中的不足，本文以某钢桁架拱桥为对象，通过现场振动试验与数值模拟相结合，在既有随机人群荷载模型的基础上，提出一种考虑人群同步率与行走步频随人群密度变化的随机人群荷载模型，并采用相关的试验对本文模型的正确性进行验证。

1 试验概况

1.1 试验对象

本研究选用某座钢桁架人行桥作为本次试验对象。人行桥于2004年建造完成，其位于宿舍楼与教学楼之间，是学生上下课经过的主要通道，人行桥实景如图1所示。人行桥全长为24.5 m，宽为6.7 m，该人行桥上部结构为变高度钢桁架，主梁、横梁和拱肋等使用HK300a宽翼缘H型钢，纵梁采用I12工字型钢，腹杆使用HK160b宽翼缘H型钢，桥面板采用6 mm花纹钢板，支座选用四个矩形板式橡胶支座。

图1 人行桥实景Fig.1 Pedestrian bridge real scene

1.2 测点布置

考虑到钢桁架人行桥的竖向一阶基频较低，随机人群荷载作用下人行桥所产生的振动集中在低频区间，且人体舒适度的敏感频带分布在4～8 Hz[13]范围内。因此，在测点的水平和垂直向均选用低频响应性能良好的941B型拾振器，频率范围在0.25 Hz到80 Hz之间，灵敏度为5×10-6m/s2。本次试验信号采集选用INV3060A型24位智能信号采集系统。

在进行人行桥试验测点布置时，考虑到试验设备布置的需要，采用两种测点布置方案：测点布置方案A，人行桥振动特性测试；测点布置方案B，随机人群荷载作用下人行桥振动响应测试。两种测点布置方案具体介绍如下：

1.2.1 测点布置方案A

方案A主要是对人行桥振动特性进行测试，测点布置在人行桥中轴线上，分别在人行桥1/8跨、1/4跨、3/8跨、1/2跨处布置水平和垂直向941B拾振器，测点布置示意如图2(a)所示。

1.2.2 测点布置方案B

方案B主要是对随机人群荷载作用下人行桥振动响应进行测试，测点布置在人行桥边线(距桥最外侧0.67 m)上，分别在人行桥1/8跨、1/4跨、3/8跨、1/2跨处布置水平和垂直向941B拾振器，测点布置示意如图2(b)所示，l为人行桥桥长，b为人行桥桥宽。

图2 测点布置示意Fig.2 Measuring point layout

1.3 试验人员

参与钢桁架人行桥振动响应试验的人员均为身体健康的在校大学生，人员详细参数如表1所示。

表1 试验人员详细参数Tab.1 Parameters of personnel in different population density conditions

1.4 测试工况

考虑到外界环境振动，如交通运行或测试区内行人走动等引起的振动，会对现场测试产生影响。因此，为尽量降低这种干扰，试验选在周围车辆、行人都很少的时段进行，同时对人行桥周边采取禁行措施。测试工况共分为三种，如下所示。

1.4.1 环境振动测试工况

此工况为测量外界环境振动对现场实测造成的影响，测点布置方式采用测点布置方案A。在进行测试时人行桥上不允许有任何人员，连续测试120 s，并重复测试4次。

1.4.2 人行桥振动特性测试工况

此工况为测量人行桥自身振动特性，测点布置方式采用测点布置方案A。人行桥振动特性测试分为两种，人行桥固有振动特性测试工况和留驻人员作用下人-桥振动特性测试工况。人行桥振动特性测试的工况编号，如表2所示，编号中字母T代表人行桥振动特性测试，T后面的数字表示人行桥上留驻人员人数。人员编号对应表1中的试验人员。

表2 人行桥振动特性测试工况编号Tab.2 Working condition number of pedestrian bridge vibration characteristics

在进行人行桥固有振动特性T0工况进行测试时，人行桥上仅留有测试人员一位，测试人员持高弹性聚能力锤立于桥中线1/2跨处，共对人行桥敲击6次，敲击时间间隔为15 s，敲击力为约3 kN。进行留驻人员作用下人-桥振动特性测试时，工况T3、T6和T10分别表示在桥中线1/2跨处站有3人、6人、10人。测试人员持高弹性聚能力锤在桥中线1/2跨处以约3 kN的力进行敲击，各个工况均敲击3次，敲击时间间隔为15 s。人行桥振动特性测试现场如图3所示。

图3 人行桥振动特性测试Fig.3 Field test of the working conditions of the remaining people

1.4.3 随机人群荷载作用测试工况

随机人群荷载作用工况采用三种不同人群密度进行研究，分别为自由行走状态0.3人/m2、稠密状态1.0人/m2、非常稠密状态1.5人/m2。考虑到人行桥面积较大，如若全桥面布置行人，所需行人较多，也不符合人行桥正常使用状态。因此，本试验采取限制行人行走范围的方式，以减少所需行人数量。行人自由行走范围限制在桥中线左右两侧各2 m内，且行人前后距离控制在5 m范围内。各工况编号如表3所示，每种状态测试3次。其中，SJ代表随机人群荷载作用，SJ前面的数字代表人群密度，SJ后面的数字代表测试次序号。随机人群荷载试验如图4所示。

表3 随机人群荷载作用测试工况编号Tab.3 Condition number of stochastic crowd walking

图4 随机人群荷载作用测试Fig.4 Field test of stochastic crowd conditions

2 试验分析

试验选用的INV3060A型24位智能信号采集系统，其采集频率为每秒256次。在测试过程中，外界因素或是采集系统自身的原因可能会导致数据出现异常。因此，为得到真实可用的时域数据，有必要在进行数据分析之前使用三西格玛(3σ)准则[14]剔除数据中的异常值。而对于随机人群荷载作用测试工况引起人行桥振动的内在关系，则需将实测得到的振动加速度时程数据通过快速傅里叶变换FFT(fast fourier transform)转换成频域函数。同时，为降低FFT引起的截断误差，选用的平均方式是线性平均，重叠系数是15/16，使用汉宁(Hanning)窗作为加窗函数。

2.1 环境振动测试工况

在进行4次环境振动测试后，得到其水平与竖向峰值加速度时程数据，由于变化规律相同，在此仅列出第一次竖向峰值加速度测试数据，如图5所示。对第一次测试截取其前半部分数据，可以观察到整体处于稳定状态，但在20 s和34 s，振幅明显加大，其最大值在0.030 m/s2左右。

图5 环境振动测试人行桥1/8跨处加速度时程Fig.5 Acceleration time history of external vibration test for 1/8 span of pedestrian bridge

为考察环境振动对试验测试的影响程度，对环境振动测试的峰值加速度最大值进行统计，如表4所示。可以观察到，人行桥各测点处水平向峰值加速度最大为0.015 m/s2，平均值为0.010 m/s2。人行桥各测点处竖向峰值加速度最大为0.057 m/s2，平均值为0.030 m/s2。由人行桥环境振动测试结果可知，测得的峰值加速度相对较小，不会对人行桥振动响应试验结果造成明显影响。

表4 环境振动测试峰值加速度Tab.4 Peak acceleration of external vibration test

2.2 人行桥振动特性测试工况

先对人行桥进行固有振动特性测试，即工况T0，使用高弹性聚能力锤总共进行6次敲击，获得6条人行桥振动衰减曲线，对时域数据进行快速傅里叶变换FFT，由此得到人行桥前三阶竖向振动频率与阻尼比，如表5所示。然后在桥1/2跨处分别留驻3、6、10人，即工况T3、T6和T10，将T0、T3、T6和T10四种工况的第一阶竖向频率与阻尼进行对比分析，如图6所示。可以观察到，第一阶竖向频率由留驻0人的9.443 Hz降低到留驻10人时的9.436 Hz，第一阶竖向阻尼比由留驻0人的0.752%升高到留驻10人时的1.477%，增大了1倍。由此可知，人行桥的第一阶竖向频率随留驻人数的增加而减少，但第一阶竖向频率降低幅度不大；人行桥的第一阶竖向阻尼比随留驻人数的增加而升高，且第一阶竖向阻尼比提升比例显著。

表5 人行桥固有振动特性实测结果Tab.5 Test results of pedestrian bridge natural vibration characteristics

图6 不同留驻人数在人行桥1/2跨处振动特性Fig.6 Vibration characteristics of the half-span of pedestrian bridge with different numbers of people

2.3 随机人群荷载作用工况

随机人群荷载作用下人行桥各工况时程曲线变化趋势相同，由于篇幅限制，在此以0.3SJ1工况下人行桥峰值加速度时程曲线为例进行时程曲线介绍。

当随机人群密度为0.3人/m2第一次经过人行桥时，桥1/2跨处峰值加速度时程曲线如图7所示。人群在16 s左右开始上桥，桥1/2跨处峰值加速度逐渐增大，当人群经过桥1/2跨附近时，峰值加速度达到最大值0.761 m/s2，随后人群陆续下桥，桥1/2跨处峰值加速度逐渐减小，呈现出先增大后减小的梭形。

图7 0.3SJ1工况下加速度时程曲线Fig.7 Peak acceleration time history under 0.3SJ1 working condition

不同人群密度工况下，人行桥1/2跨处峰值加速度频谱曲线如图8所示。人行桥1/2跨处峰值加速度频谱曲线在9.5 Hz处出现极值，其余极值相对较小，1.0SJ1工况下峰值加速度极值最大，0.3SJ1工况下峰值加速度最小。因此，桥1/2跨处竖向振动主要由桥第一阶竖向振型振动构成，且当人群密度增大时，峰值加速度极值先增大后减小。

图8 随机人群试验工况下峰值加速度频谱Fig.8 Peak acceleration spectrum under random crowd test conditions

随机人群不同人群密度工况下，人行桥各测点最大竖向峰值加速度如图9所示。桥各测点竖向振动响应最小为人群密度为0.3人/m2时，当人群密度为1.5人/m2时，人行桥各测点竖向峰值加速度小于人群为1.0人/m2工况。此种现象出现的主要原因是，由于当随机人群密度小于1.0人/m2时，随着人群密度的增加，人群行人人数上升，但此时人群之间的相互影响还相对较小，因此对桥产生的荷载作用增大，导致桥竖向振动响应随人群密度增加而升高；当随机人群密度超过1.0人/m2后，随着人群密度的增加，人群之间的相互影响增大，导致人群行走的速度与行走步频都在降低，导致其对桥产生的荷载作用减小，表现为桥竖向振动响应随人群密度增大而减小。

图9 随机人群试验工况下人行桥各测点处峰值加速度Fig.9 Vibration response of pedestrian bridge at various measuring points under stochastic crowd conditions

3 基于人群密度的荷载模型

3.1 人行桥数值模型

3.1.1 模型建立

人行桥数值模型采用有限元软件ANSYS进行建模。其中，桥面板采用shell181单元，纵梁、横梁、桁架均采用beam188单元，材料采用Q345A型钢。为方便人行荷载施加，设置shell181单元沿桥纵向长度为0.1 m，不同单元类型之间与不同单元网格之间采用MPC(多点耦合)连接。约束条件主要是根据实际桥边界情况设定，在人行桥四个角处分别设置一个支座，在每个支座限制竖向位移的同时，在短边同一侧两个支座处限制人行桥纵向位移，在长边同一侧两个支座处限制人行桥横向位移。人行桥共9 526个节点，8 556个单元，数值模型如图10所示。为与人行桥试验测点的位置相对应，对人行桥边线上1/8跨、1/4跨、3/8跨、1/2跨处的节点进行记录。

由于进行人行桥振动响应分析需要考虑结构阻尼，因此在ANSYS中进行人行桥瞬态分析时需要对人行桥进行阻尼输入。对人行桥数值模型赋予阻尼时，需要得到人行桥的Rayleigh系数，可根据结构动力学公式(1)进行求解。由于人行桥竖向振动频率以及相应竖向振动频率所对应的阻尼比已经测得，可求得Rayleigh系数a0=0.061 3，a1=0.001 5。

(1)

式中:a0和a1为人行桥Rayleigh系数；ωm和ωn为人行桥对应的第m、n阶竖向振动频率；ξm和ξn为人行桥第m、n阶竖向振动频率所对应的阻尼比。

3.1.2 模态分析

为确保人行桥数值模型正确性，对人行桥数值模型前3阶竖向振型进行提取，如图11所示。

图11 数值模型的竖向前3阶振型Fig.11 First three vertical modes of simulation model

试验测得的人行桥竖向振动频率与人行桥数值模型竖向振动频率如表6所示。由表6可知，试验值与计算值的相对误差均在5%以内。因此，建立的人行桥数值模型可以用于随机人群荷载作用下的人行桥数值模拟。

表6 人行桥数值模型竖向振动频率Tab.6 Vertical vibration frequency of numerical simulation model for pedestrian bridge

3.2 人群荷载模型的建立

一般来说，随机人群荷载模型使用的人群荷载模型是由单人荷载模型组合而成[15]，而单人荷载模型采用3阶的傅里叶级数模型，如式(2)所示，单人荷载模型的动载因子(DLF)与相位角偏移如表7所示[16]。

表7 单人荷载模型的动载因子(DLF)与相位角偏移Tab.7 Dynamic load factor (DLF)and phase angle shift of single-person load model

(2)

式中：W为行人的质量；fs为行人行走步频；αi为第i阶简谐荷载的动载因子(DLF)；φi为第i阶简谐分量的相位偏移。

通过本文的试验结果发现，人群的同步率与行走步频都会随人群密度的变化而变化，与既有随机人群荷载模型有明显差异。因此，本文在既有随机人群荷载模型的基础上，提出了一种考虑人群同步率与行走步频随人群密度变化而改变的人群荷载模型。

通过对人群随机经过人行桥与某车站上人群行走的视频进行图像解析，得到不同人群密度下人群的同步率，并结合文献[17]的试验数据，对人群密度与人群同步率进行回归分析，如图12所示。

图12 p与d的关系Fig.11 The relationship between p and d

考虑到人群密度小于0.5人/m2时，人群可视为完全自由行走状态，人群密度不会改变人群的同步率，因此取P=0.223 3。P与d关系表达式如式(3)所示。

(3)

式中：p为人群同步率；d为人群密度，单位为人/m2。

对于人群行走步频随人群密度变化的关系，国内已有大量相关研究，在此采用文献[18]给出的相应关系表达式，如式(4)和式(5)所示。

(4)

(5)

式中：f为行走步频；σf为行走步频标准差。

综上所述，基于人群密度的荷载模型对人群同步率、步频、步长、相位、体重和分布位置的定义采用以下考虑。人群的同步率按式(3)取值，人群行走频率的平均值按式(4)和式(5)取值，服从正态分布N(fs,0.176 6 Hz)。人群行走步长服从N(0.715 m,0.078 m)。人群行走相位角服从均匀分布U(0,2π)。人群荷载模型中行人体重按试验人群体重分布规律选取。

4 人群荷载模型的验证

为了验证建立的随机人群荷载模型，用本文试验和其他学者的两组相关试验(Felipe试验[19]和Shahabpoor试验[20])，对本文提出的随机人群荷载模型进行验证。

4.1 相关试验简介

4.1.1 Felipe试验

Felipe试验的对象是一个长11.3 m，宽为1.8 m的混凝土简支梁桥。在梁的两端各150 mm处设置横向支撑。简支梁顶板为100 mm厚的混凝土板，在板的两侧为宽170 mm的混凝土梁，在板的两端各设置一道300 mm宽的横梁，如图13所示。Felipe在简支梁桥1/2跨边梁处设置加速度传感器。试验时，人群从桥的一端向另一端单向自由行走。

图13 Felipe试验参数Fig.13 Felipe test parameters

4.1.2 Shahabpoor试验

Shahabpoor试验的对象为一个长为11.2 m宽为2.0 m的混凝土板，在混凝土板两端各200 mm处设置支撑，混凝土板厚为275 mm。在混凝土板两侧共设置了18个加速度传感器，其两两间距为1 350 mm，如图14所示。试验时，人群在板上以逆时针方向自由行走。

图14 E.shahabpoor试验参数Fig.14 E.Shahabpoor test parameters

4.2 试验的数值模拟

采用本文建立的随机人群荷载模型进行生成荷载作用时，人群同步率、步频、步长、相位、体重和分布位置等均采用蒙特卡洛法随机生成[21]。人群荷载加载形式为人群中各个荷载单独加载，加载的时间间隔为0.001 s，在每个加载位置完成一个荷载周期后停止加载，在下一个加载位置继续加载，直到在最后一个加载位置加载结束。

4.2.1 本文试验

由于人群密度为0.3人/m2时人群为完全自由行走，人群密度不会改变人群的同步率与行走步频，因此使用本文的荷载模型仅模拟人群密度为1.0人/m2、1.5人/m2两个工况，每个工况分别进行多次计算，最后对计算得到的人行桥振动响应结果进行高斯函数拟合。

当人群密度为1.0人/m2时人行桥边线1/2跨处峰值加速度分布如图15(a)所示，X轴代表峰值加速度，Y轴代表此区间内的峰值加速度出现次数。均值为1.520 m/s2，分布情况大致符合正态函数N(1.520 m/s2,0.495 9 m/s2)，决定系数(R2)为0.871。当人群密度为1.5人/m2时人行桥边线1/2跨处峰值加速度分布如图15(b)所示。其均值为1.083 m/s2，分布情况大致符合正态函数N(1.083 m/s2,0.388 8 m/s2)，决定系数(R2)为0.858。

图15 随机人群荷载下人行桥峰值加速度分布Fig.15 Peak acceleration distribution of pedestrian bridge under stochastic random crowd load

4.2.2 Felipe试验

由于试验数据所给出的均为有效加速度，因此模拟过程中也均取有效加速度。对不同人群密度工况均进行多次计算，以此来获得各工况下混凝土结构跨中处的有效加速度。对各工况下有效加速度进行高斯函数拟合，得到各工况下混凝土结构跨中处有效加速度的分布情况。分布情况如图16和图17所示，X轴代表有效加速度，Y轴代表此区间内的有效加速度出现次数。

Felipe试验中随机人群密度分别为0.7人/m2、0.9人/m2。在Felipe试验0.7人/m2工况中，混凝土简支梁1/2跨处的有效加速度分布如图16(a)所示。均值为0.075 m/s2，分布情况大致符合正态函数N(0.075 m/s2,0.012 5 m/s2)，决定系数(R2)为0.785。在Felipe试验0.9人/m2工况中，混凝土简支梁1/2跨处有效加速度分布如图16(b)所示，均值为0.105 m/s2，分布情况大致符合正态函数N(0.105 m/s2,0.016 4 m/s2)，决定系数(R2)为0.766。

图16 Felipe试验1/2跨处有效加速度Fig.16 Effective acceleration at 1/2 span of Felipe test

4.2.3 Shahabpoor试验

Shahabpoor试验模拟过程和Felipe试验一致，在此不再赘述。随机人群密度分别为0.45人/m2、0.67人/m2。在Shahabpoor试验0.45人/m2工况中，混凝土简支梁1/2跨处有效加速度分布，如图17(a)所示，均值为0.275 m/s2，分布情况大致符合正态函数N(0.275 m/s2,0.037 7 m/s2)，决定系数(R2)为0.761。在Shahabpoor试验0.67人/m2工况中，混凝土简支梁1/2跨处有效加速度分布如图17(b)所示，X轴代表有效加速度，Y轴代表此区间内的有效加速度出现次数。均值为0.220 m/s2，分布情况大致符合正态函数N(0.220 m/s2,0.020 1 m/s2)，决定系数(R2)为0.938。

图17 E.shahabpoor试验1/2跨处有效加速度Fig.17 Effective acceleration at 1/2 span of E shahabpoor test

4.3 试验数据与模型计算结果的对比

将本文试验、Felipe试验与E.shahabpoor试验的结果与本文模型的计算结果进行对比，如表8所示。人行桥峰值加速度的计算值与试验值相比接近，峰值加速度差值最大为0.084 m/s2，相对误差最大为5.2%。当人群密度为0.7人/m2时，人群荷载作用下，混凝土板的计算值与试验值误差为12.2%，当人群密度为0.9人/m2时，人群荷载作用下，混凝土板的计算值与试验值误差为6.8%。当人群密度为0.45人/m2时，人群荷载作用下，混凝土板的计算值与试验值误差为5.2%，当人群密度为0.67人/m2时，人群荷载作用下，混凝土板的计算值与试验值误差为12%。