程永杰, 刘 帅, 张 雪, 金 铭

(哈尔滨工业大学(威海)信息科学与工程学院, 山东 威海 264200)

0 引 言

作为阵列信号处理的重要研究内容,自适应波束形成技术广泛应用在雷达[1-3]、声呐[4-6]、医学[7-8]及无线通信[9-10]等领域。Capon波束形成器是一种经典波束形成算法[11],在数据协方差矩阵和期望信号导向矢量精确已知的条件下,可在实现期望信号无失真传输的同时最大程度地抑制干扰信号,获得最佳的系统性能。在实际应用中,由于阵列总是同时接收期望和干扰信号,且快拍数通常有限,因此无法准确获得干扰噪声协方差矩阵,随着信噪比的提高,经典波束形成器会抑制期望信号,出现期望信号“自消”现象,性能严重下降;此外由于接收通道误差、视向误差等多种非理想因素的存在,期望信号导向矢量无法精确估计,波束形成器性能也受到影响。为解决以上问题,近年来,大量学者对鲁棒波束形成算法展开深入研究,具体可分为以下四个方面:对角加载法[12-14]、特征空间法[15-16]、不确定集约束法[17-19]以及协方差矩阵重构法[20-23]。

对角加载算法[12-14]通过对样本协方差矩阵加上单位矩阵与加载因子的乘积,减缓噪声特征值的扰动,改善信号“自消”和方向图畸变现象。此类算法在小快拍情况下性能较好,但最佳加载量因子较难确定;特征空间算法[15-16]利用信号空间与噪声空间的正交性修正权矢量或信号导向矢量,减弱噪声空间扰动的影响,但该类算法在信噪比较低时,信号空间会出现“塌陷”现象,算法性能下降严重;不确定集约束算法[17-19]是将导向矢量的可能失配范围构建为集合,通过寻优修正导向矢量,但最佳不确定集选取原则通常很难确定,优化过程较为复杂,不适合工程应用。为了改善信号“自消”现象,文献[20]从矩阵重构入手,在非期望信号区域内利用Capon谱积分重构干扰噪声协方差矩阵,算法性能接近最优,具有良好的鲁棒性。至此,通过分离样本协方差矩阵中的期望信号成分完成协方差矩阵重构,提升波束形成算法鲁棒性的研究成为热点。鉴于文献[20]的积分实现过程和导向矢量修正方法计算复杂度过高,后续算法从积分构建方式[21-22]、定义法[23]及投影处理[24-27]等方向对其改进。其中,文献[21]结合不确定集思想,给出导向矢量的可能失配范围,利用环形积分代替线性积分重构协方差矩阵,该算法性能有所提升,但环形积分计算复杂度较高,不利于工程应用;文献[22]利用导向矢量与特征向量之间的相关性估计期望信号导向矢量,用噪声功率代替期望信号功率重构协方差矩阵,当信噪比与干噪比相近时,信号的色散效应会严重影响波束形成器性能;文献[23]考虑阵列信号分布的稀疏性[24],利用交替投影法确定干扰信号导向矢量,并结合Capon空间谱来估计信号功率,依据定义式重构干扰噪声协方差矩阵,算法性能在宽信噪比范围内接近理想情况,但其干扰信号空间维数较难确定;文献[25]在文献[23]的基础上,改进了空间维数的选取方法,性能有所提升;文献[26-27]通过构建干扰信号空间的投影矩阵处理快拍数据,消除了样本协方差矩阵的期望信号成分,获得精确的干扰噪声协方差矩阵,性能接近最优,而样本点数的选取会影响投影矩阵的精确性,样本数越大,投影矩阵越精确,但计算复杂度也随之增加,不利于工程应用。

综上可知,现有研究成果在一定程度上提高了波束形成算法的鲁棒性,而在计算复杂度方面仍存在改进的空间。本文针对鲁棒波束形成算法的高计算复杂度和导向矢量失配等问题,利用高斯-勒让德积分简便、快速地重构协方差矩阵,进而实现鲁棒波束形成算法。该算法首先利用高斯-勒让德积分代替离散求和实现干扰空间投影矩阵构建;然后将快拍数据投影到干扰空间去除期望信号,得到干扰噪声协方差矩阵;最后,采用特征空间法修正导向矢量失配误差,进一步提高了算法的鲁棒性。仿真结果表明,本文方法可有效减少矩阵重构的计算量,提高波束形成算法的鲁棒性。

1 信号模型

假设有Q+1个远场窄带信号入射到由M个阵元构成的均匀线阵上,则k时刻阵列接收到的快拍数据为

x(k)=xs(k)+xi(k)+n(k)

(1)

信号导向矢量可表示为

(2)

式中:[·]T表示转置运算;d=λ/2为阵元间距,λ为入射信号波长。

波束形成器输出为

y(k)=wHx(k)

(3)

式中:w=[w1,w2,…,wM]T为阵列权矢量;[·]H表示共轭转置运算。波束形成器的输出信干噪比SINR表示为

(4)

s.t.wHa(θ0)=1

(5)

结合拉格朗日乘子法解得

(6)

实际中,Ri+n一般用样本协方差矩阵代替:

(7)

式中:K为快拍数。

2 基于高斯-勒让德积分重构的鲁棒波束形成算法

本节提出了一种基于高斯-勒让德积分实现干扰噪声协方差矩阵重构的方法。高斯-勒让德积分是精度最高的插值型数值积分方法之一,通过在较少积分节点上的函数运算和求和,实现积分的高精度数值计算。本文基于高斯-勒让德积分特点,选取4阶高斯-勒让德积分代替离散取点求和实现干扰信号空间的构建,降低了计算量,而后通过将快拍数据向干扰信号空间投影去除期望信号,得到了精确的干扰噪声协方差矩阵。最后,利用特征空间法对阵列权矢量进行修正,提高了算法对导向矢量失配的鲁棒性。

2.1 干扰噪声协方差矩阵重构

假设Q个干扰信号分别分布于区域Θi,i=1,2,…,Q。由于不同角度的信号导向矢量之间满足近似正交性[28-29],即

(8)

式中:δθi,θj为Kronecker函数。因此,可通过在干扰角度邻域内积分来构建干扰信号子空间,表达式为

(9)

式中：Θi为干扰分布区域;a(θ)为阵列导向矢量。

一般地,式(9)通过离散求和的方式计算：

(10)

式中：J为采样点数。分析知J越大,式(10)的计算结果越接近真实值,但计算复杂度也会随之增加。

针对以上问题,本文引入高斯-勒让德积分[30]实现干扰信号子空间的高效计算。该积分是一种插值型数值积分,可将任意函数在区间[-1,1]的积分替换为n+1阶的插值求积,具体公式如下:

(11)

(12)

(13)

由高斯-勒让德积分原理可知,当选择4阶勒让德多项式时,式(11)在f(x)分别为1,x,x2,x3时精确成立,因此有

(14)

(15)

对于信号角度分布区域Θi=[θa,θb]的积分,可进行积分区间变换,具体表达式为

(16)

式中:t∈[-1,1]。以式给出的第i个干扰信号子空间重构为例,其可由高斯-勒让德积分实现,具体表示为

(17)

对Q个干扰信号,分别利用式进行Q次计算,可得全部干扰信号子空间Di,i=1,2,…,Q。与式(10)相比,利用高斯-勒让德积分构建干扰信号子空间只需计算4个求积节点处的函数值,避免了繁琐的离散取点求和,降低了积分的计算量,有利于工程实现。

(18)

式中:特征值按倒序排列,即σ1≥σ2≥…≥σM,取矩阵D的前N个大特征值对应的特征向量构成矩阵P=[v1,v2,…,vN],可得投影矩阵B=PPH,其中N的大小可由信号源个数估计算法或仿真确定。适当选取N的取值,使投影矩阵对期望信号的抑制效果最好,并保证干扰信号不失真。

由于期望信号导向矢量与干扰导向矢量正交[28],可将k时刻阵列接收的快拍数据x(k)投影到干扰信号空间,滤除期望信号成分

(19)

分析知,投影后的快拍数据不含期望信号成分,可用来估计干扰协方差矩阵：

(20)

对式(20)修正后,得到重构的干扰噪声协方差矩阵为

(21)

2.2 权矢量修正

(22)

为了进一步提高算法对导向矢量失配的鲁棒性,本文采用特征空间法方法对阵列权矢量修正：

(23)

综上,本文算法的实现步骤如下。

步骤 1利用高斯-勒让德积分得到干扰信号空间Di,i=1,2,…Q,如式(17)所示。

3 仿真实验

3.1 复杂度仿真与分析

本节针对算法矩阵重构部分的计算复杂度进行分析、比较,意在说明本文算法的低复杂度。分析可知,本文算法中,矩阵重构部分,计算复杂度为O(QM2L+M3),L为求积节点数,远小于阵元数M,Q为干扰信号个数;文献[20]算法计算复杂度为O(M2S),其中S为非期望信号区域的采样点数,通常S≫M;文献[23]算法中,计算复杂度为O(M3.5);文献[27]算法,计算复杂度为O(max(M2J,M2P)),其中J、P分别表示噪声分布区域和期望信号分布区域的采样点数。各算法的计算复杂度对比如表1所示。依据以上算法在相应文献中参数的典型取值,本文选取具体参数如下:L=4,Q=2,S=1 640,J=1 318,P=161,对比分析各算法的复杂度与阵元数M的关系,结果如图1所示。

表1 计算复杂度对比

图1 计算复杂度对比

从图1可以看出,本文所提方法降低了矩阵重构的计算复杂度,计算成本远远低于其他矩阵重构类算法,并且随着阵元数M的增加,本文方法的低复杂度优势更突出。

3.2 特征向量个数选取的仿真与分析

本节考察投影矩阵中特征向量的个数对投影性能的影响,固定勒让德多项式阶次为4,分别取特征向量的个数为4～8构造投影矩阵,考察特征向量个数的选取对投影结果的影响,结果如图2所示。从图2可以看出,当N=5时,投影对期望信号的抑制效果较好,且投影之后干扰基本不失真,因此本文选择P中含有5个特征向量。

图2 投影结果

3.3 视向误差下算法仿真与分析

在该误差条件下,期望信号、干扰到达角度的误差之间相互独立且服从[-4°,4°]的均匀分布。即期望信号到达角度均匀分布在[-2°,6°],干扰信号到达角度分布在[-42°,-34°]、[28°,36°]。视向误差在快拍间保持不变,在每次蒙特卡罗实验中重新产生。取信噪比SNR以5 dB的间隔从-10 dB变化到30 dB,在每个信噪比下进行200次蒙特卡罗实验,统计阵列的输出信干噪比,结果如图3所示。

图3 视向误差下性能对比

从图3可以看出,由于特征空间法在低信噪比时存在信号、噪声子空间混叠现象,因此采用特征空间修正失配误差的本文算法在SNR小于-5 dB时性能略逊于同类重构算法;但随着SNR的增加,本文与矩阵重构类方法性能接近,均优于对角加载算法[12]、特征空间算法[15]、矩阵求逆算法。在矩阵重构类方法中,文献[23]算法性能更接近于最优值,但其需要通过Capon谱积分、特征分解及交替投影等复杂运算估计导向矢量和重构协方差矩阵,计算量较大。本文方法优势是以较小的性能损失换取了计算复杂度的降低,更利于工程实现。

3.4 随机误差下算法仿真与分析

在该误差环境下,期望信号和干扰信号的导向矢量误差模型为

(24)

图4 导向矢量随机误差下性能对比

图4是各算法在导向矢量随机产生误差条件下的算法性能变化情况,即输出SINR与输入SNR的关系图。因利用交替投影、主特征向量、凸优化等方法可以较为精确估计或修正导向矢量,特征空间算法、文献[20]算法、文献[23]算法及文献[27]算法,对该误差不敏感,而对角加载算法和矩阵求逆算法未采取修正措施,导向矢量随机发生误差时,波束形成器性能受到极大影响。本文算法通过投影处理快拍数据,结合特征空间法对导向矢量进行修正,使得波束形成器对随机误差具有较高的鲁棒性,性能接近最优值。

3.5 幅相误差下算法仿真与分析

在该误差条件下,每个阵元的幅度误差服从N(1,0.12),相位误差服从N(0,(0.025π)2)。幅相误差在每次蒙特卡罗实验间随机生成,在快拍间保持不变。取SNR以5 dB的间隔从-10 dB变化到30 dB,在每个SNR下进行200次蒙特卡罗实验,统计阵列的输出SINR,结果如图5所示。由图5可知,本文算法与其他重构类算法性能相近,均与理想性能存在一定差距。如何提高阵列在幅相误差条件下的输出SINR,提高波束形成算法对幅相误差的鲁棒性,是当前的研究热点,也是作者下一步的研究工作。

图5 幅相误差下性能对比

4 结 论

本文提出一种低复杂度的鲁棒波束形成算法,与已有利用离散求和实现矩阵重构的方法不同,本文方法基于高斯-勒让德数值积分,选用4阶积分可便捷、快速地重构协方差矩阵,同时利用特征空间法修正阵列权矢量,增强了算法的鲁棒性。仿真结果表明,本文方法在视向误差、随机误差条件下,均具有良好的性能及较强的鲁棒性,同时与矩阵重构类算法相比,本文方法的复杂度更低,更适合于工程应用。