尹立凡, 张奕群, 王 硕, 孙承钢

(北京电子工程总体研究所, 北京 100854)

0 引 言

直方图概率多假设跟踪(histogram probabilistic multi-hypothesis tracking, H-PMHT)是一种有前景的多目标检测前跟踪(track before detect, TBD)算法[1]。不同于传统的TBD方法,其理论建立在多目标假设之上,更适用于多目标场合[2]。另外,其最突出的特点为计算量与目标数呈线性关系,使其得到了较广泛的关注[2-7]。

在H-PMHT方法当中,跟踪对象的表观模型可以为任意函数形式,因而适用于各种类型的目标[8]。Streit等人率先研究了表观模型为高斯密度函数时的算法[9-10]。Davey等人进一步研究了混合高斯、狄利克雷模型等复杂情况[11-12]。这些工作使得这一方法不仅有能力跟踪点扩散目标,更有能力处理人物、飞行器、集群等不同类型的目标[1,13-14]。另外, Walsh和Vu等人还使用该方法处理了高光谱、雷达、声呐和视频图像等多种数据[15-21],证明其适用于不同类型的传感器。这些研究为Pakfilize等人在空域和海域防御、空间环境感知等问题中初步试用该方法提供了理论保证[22-26]。

近年内,针对H-PMHT算法存在的一些问题,还陆续的出现了几种改进的算法。Davey等人提出的泊松H-PMHT(Poisson H-PMHT, P-HPMHT)算法解决了起伏目标的跟踪问题[27-28];Vu等人提出的插值泊松PMHT(interpolated Poisson PMHT, IP-PMHT)算法避免了先验信息抑制的问题[29];Willett等人提出的量化跟踪(quantity tracker, QT)算法初步从理论上解决了目标数估计的问题[30-34]。这些算法都有着相近的模型结构,且计算量均与目标数保持线性关系,因而同样可以应用于多目标场合。

以上这些算法的一个共同问题是其量测模型没有包含噪声项。因而,在低信噪比(signal to noise ratio,SNR)情况下,跟踪检测能力较弱[4,35-36]。另外,当目标运动速度较快时,跟踪效果也会变差[36]。这些问题仍尚待解决。

目前,国内对这一些方法研究的公开报道还较少[37-39]。在上述背景下,本文综述了现有的H-PMHT方法技术来方便研究者开展工作。首先,介绍了H-PMHT算法的基本原理。为更好地阐述其基本思想,使用统一的理论框架将其与PMHT算法进行叙述和对比分析。然后，介绍了H-PMHT算法在泊松分布假设下的两种推广。其次，介绍了H-PMHT算法的应用研究。最后，对算法的优缺点进行了总结,并对其发展进行了展望。

1 H-PMHT方法及其研究进展

1.1 PMHT算法

(1)

根据式(1),假设It中的元素相互独立,又假设Θt中的不同目标参数相互独立且其先验分布为η(Θt),则联合概率分布为

p(It,Θt;Πt)=p(It|Θt;Πt)η(Θt)=

(2)

PMHT算法的核心内容是通过极大化式(2)而得到Θt和Πt的估计。为处理这一直接求解存在困难的计算问题,Streit等人通过期望极大化(expectation maximization, EM)方法[40-41]得到了PMHT算法[42]。

(3)

由此,假设Θt和Ct相互独立,得到函数形式上更易于处理的联合概率分布:

p(It,Θt,Ct;Πt)=p(It|Θt,Ct)p(Ct;Πt)η(Θt)=

(4)

式(4)为EM方法构建辅助函数的基础,可以发现计算式(4)关于Ct的边缘分布,其结果恰为式(2)。

在PMHT算法中,通过EM方法构建的辅助函数为

(5)

即式(4)除以式(2)。

再经过推导及重新整理,PMHT算法的辅助函数[40]为

(6)

式中:

(7)

(8)

且

(9)

PMHT算法得到的估计结果为经验贝叶斯意义下的最优估计[42]。然而,其量测It为二值量化数据Nt。由于分割传感器输出Zt会导致大量有用数据信息不能被跟踪算法所利用,该算法对低SNR目标的跟踪能力有限。为了克服这一缺点,Streit等人提出将二值量化数据扩展为多值量化数据的改进思路,形成了H-PMHT算法[8]。

1.2 H-PMHT算法

Streit等人假设Nt满足多项式分布[8],即

(10)

(11)

(12)

式中:

(13)

(14)

1.3 H-PMHT算法与PMHT算法间的关系

(15)

式(15)等号中间的项与式(2)中的p(It|Θt;Πt)结构相同。因而,若视其为Θt和Πt的似然函数,通过EM方法得到的辅助函数,其形式与式(6)～式(8)相同。

(16)

利用式(16),式(6)～式(8)依次变为式(12)、式(13)和式(17)。

(17)

其中,除式(17)与式(14)不同外,式(12)和式(13)为前述H-PMHT算法的辅助函数。因而,若能证明式(17)与式(14)等效,就说明经过上述变换得到的算法就是H-PMHT算法。也就是说,当量测Nt为多值量化数据时,PMHT算法就可以经过式(15)的变换变成H-PMHT算法。这里说的等效,是指优化式(14)或式(17)得到的Θt估计相同。

(18)

式中:

p(Nt,Ξt,Ct)=p(Ct|Nt,Θt;Πt)p(Nt|Θt;Πt)η(Θt)

(19)

p(Ct|Nt,Ξt)≡p(Ct|Nt,Θt;Πt)=

(20)

上面的分析揭示了PMHT算法和H-PMHT算法间的等效性。因此可以推测,有可能在这两种算法的基础上发展出一种同时具备DBT和TBD方法优点的新的跟踪算法。当然,这有待于进一步研究。另一方面,正是由于H-PMHT算法是由PMHT算法发展起来的,而PMHT是DBT方法,H-PMHT也继承了其缺点,即量测模型中没有噪声项。因而,在低SNR情况下效果不佳。

1.4 算法的实现

(21)

(22)

(23)

当表观模型为任意函数时,通常不能再以解析的滤波公式实现H-PMHT算法。对此,Vu等人以粒子滤波和动态规划方法进行了计算[46-47]。进一步,孙进平等人用马尔可夫蒙特卡罗方法改进了其粒子滤波的实现过程[37-38]。粒子滤波方法得到的估计结果误差较小,但动态规划方法却更适合批处理形式下的算法实现。另外,动态规划方法在给定的离散状态空间上进行,因而可以提前计算式(14)中的对数项来提高计算效率。

对H-PMHT算法来说,其中的目标总数M被设定成了已知常数,但实际中目标的数目却是未知且时变。为解决这一问题,一种处理方法初始化一个较大的M,然后通过轨迹删减来修正M。Graham等人提出的轨迹删除方法[9]通过参数Πt的估计值对目标的SNR来进行判断,进而确定轨迹质量。Zhang等人则提出以轨迹累积的能量作为轨迹质量测度,通过动态规划算法初始化和删除轨迹[49]。仿真来看,这一复合方法较前者可以更快速的建立轨迹。另外,借鉴PMHT算法轨迹管理方法[50],Davey等人给出了一套较完整的H-PMHT算法轨迹管理方案[20]。这种基于分层思想管理轨迹的做法在实测时效果较好[20]。

轨迹管理模块对H-PMHT算法实际应用十分重要,但整体看来,目前还没有统一的方法。比如,不同学者使用不同轨迹质量测度来确定轨迹是否删减,但究竟何种方式可以较好的代表轨迹的真实性仍未有公论[4]。因而,这一问题的研究尚不成熟。

2 H-PMHT算法在泊松假设下的推广

H-PMHT算法在假设多值量化数据Nt满足多项式分布条件下得到。假设量化误差趋近于0,Nt近似为原始输出Zt,同时Nt的分布也将趋于多项式分布的极限分布,即多维泊松分布。因而,可推测存在一种基于多维泊松分布的H-PMHT算法。事实上,Davey和Vu等人也确实提出了两种基于多维泊松分布的跟踪算法[27-29]。

2.1 P-HPMHT算法

(24)

(25)

(26)

2.2 IP-PMHT算法

IP-PMHT算法是Vu等人基于插值泊松分布而提出的一种跟踪算法[29]。其基本思想与P-HPMHT算法相近。假设原始输出Zt是满足多维插值泊松分布的连续随机变量,即

(27)

(28)

IP-PMHT算法的一个问题是,IP(·;λ)积分仅近似为1,即不是严格的概率密度函数。而这便动摇了其理论基础。可以发现,其改进的方法,也继承了这一缺点[39]。为解决这一问题,以伽马分布代替插值泊松分布IP(·;λ)来建立Zt的量测模型是一种可能的解决思路。

3 算法的应用

H-PMHT算法的适应性较强,可能的应用场景也较为广泛。分类现阶段的应用研究,其中一类以雷达、声呐等传感器跟踪目标,另一类则以可见光、红外等传感器跟踪目标。

在雷达跟踪中,Davey等人使用机载海域监视雷达追踪了海面杂波下高速运动的小艇,并以H-PMHT算法对比了传统的概率数据关联(probabilistic data association, PDA)方法[20]。这种场合下,观测区域边缘的杂波分布较为密集,导致PDA算法输出了大量的误跟踪轨迹,但H-PMHT算法受杂波的影响却相对较小。文献[54]还使用无源双基地雷达数据同时跟踪了小车和飞行器。这里雷达系统的输出为“距离-多普勒”数据。结果表明,H-PMHT算法可处理这类数据,并同时有效地跟踪快速目标(飞机)及慢速目标(小车)[1,45]。另外,将H-PMHT算法用于处理天波超视距雷达数据是一个恰当的应用方向[25]。一般情况下,天波超视距雷达数据具有3个维度,其中包含方位、距离和多普勒数据信息,且存在量测的多路径叠加问题,所以处理起来较为复杂。然而,将式(1)中的不同分量作为不同的电离层反射(路径)模型,则可以改进得到适用的多模H-PMHT算法[25]。在这种应用场合中,该算法较传统PDA算法大幅地提升了检测概率。总的来说,使用传统的基于数值方法构建的TBD算法处理雷达数据,需在不同数据维度上进行离散或连续抽样。雷达数据通常具有较高维数,因而这些算法的计算消耗往往较大。然而,H-PMHT算法却不存在上述问题,因此可以判断其在雷达中的前景较为广阔。

除此之外,Bessell等人用地面望远镜监视系统跟踪了天空中大量的卫星[26]。利用H-PMHT算法同时跟踪了卫星及星星,并根据目标速度成功分离出了卫星轨迹。近期,H-PMHT算法还被用于红外传感器。Vu等人应用红外对地观测数据跟踪了城市街道中的运动目标[1],比如人物和车辆。假设杂波分布具有混合高斯表观模型,这里采用H-PMHT算法对杂波分布进行了估计,从而减小了静态场景杂波带来的干扰,较好地分离出了运动目标。

H-PMHT算法提出时,主要针对多维高斯表观模型进行研究讨论,但该种表观模型却不适合外形任意的目标。可以发现,研究不同表观模型下H-PMHT算法的实现问题,为这些应用提供了理论依据,同时会促使该算法在跟踪检测中的应用变得更加广泛。

4 总结及展望

H-PMHT算法为多目标TBD问题研究开拓了新的道路,该算法最为突出的优点是其计算量与目标数呈线性关系。同时,其也适用于跟踪不同形状的目标。

然而,在目标SNR较低时,其效果仍不能令人满意。本文分析指出,这一问题继承于PMHT算法,其关键在于量测模型中没有包括噪声模型。为解决这一问题,要求在引入噪声模型的基础上,仍能保持计算效率。这一问题仍有待研究。

另外,还没有计算H-PMHT算法估计误差协方差阵的办法,这就限制了其滤波实现,进而影响了H-PMHT算法的估计精度。为解决这一问题,一种可能的办法是利用信息矩阵求逆,而这有待于进一步研究。目前,对H-PMHT算法来说,其工程化的一个重要研究内容是寻找适合这一算法的轨迹管理方法。然而,因为没有公认的H-PMHT算法轨迹管理方法,尤其是轨迹质量测度,影响了H-PMHT算法对目标数的准确判断和实际应用效果。这方面内容亟需进一步研究。

最后,从本文分析揭示的PMHT算法和H-PMHT算法间的等效性来看,可以推测有可能在这两种算法的基础上发展出一种同时具备先检测后跟踪(detect before track,DBT)和TBD方法优点的新的跟踪算法。而这一问题也值得进一步研究。