韩苗苗 陈超辉 宋盛凯 中国卫星海上测控部

能量守恒定律是自然界一切物体运动都遵循的物理规律，从这个角度分析，天气环流运动、形势演变都是不同形式能量的传递与转化，而不同形式的能量的转化和不同尺度能量的串级又直接影响中尺度天气系统发展和强度。常规的能量学研究方案大多从整体研究分析，侧重系统能量转化，虽然能较好的研究系统能量的整体变化及趋势，却不能揭示不同尺度上的能量转化规律、不同尺度间的能量串级规律以及不同高度层之间能量的垂直输送规律。这些问题在本质上都属于大气能量谱分析（spectral analysis）的研究范畴。

许多国外的著名气象学家通过研究大气动能谱的统计特性来对数值预报模式的评估及其性能的检验方面。气象学家通过对观测到的资料进行分析，发现在平流层底部以及自由对流层,大气的动能谱具有如下的分布规律:大气的动能谱与其波数满足一定关系，在大尺度区域（800km以上），符合E∝k-3，而在中小尺度区域（400km以下）则满足E∝k-5/3关系;并且，这种特征是大气行为的基本统计特性,几乎不随纬度、高度和季节变化。张立凤通过研究梅雨锋系统地动能谱特征也进一步证实了大气动能谱在对流层高层和平流层低层大气动能谱中尺度波段呈现出明显谱转折，在400公里到1000公里的尺度范围内，动能谱与波数大致按照-3次幂指数分布，当尺度范围过渡到40km与400km时，动能谱斜率变得平缓，近似-5/3。郑永骏等对GRAPES模式的动能谱特征进行了评估，发现在中尺度范围内的动能谱较为符合真实大气，并求出了它的“spin up”时间。曾庆存(1979)指出，动能谱的统计特性是大气的最基本规律之一，它们预报效果的好坏，以及计算格式以及数值模式的优劣，和模式动能谱的统计特征与实际大气是否符合有密切的关系。故而将模式动能谱的分布特征与实际大气动能谱分布规律(大尺度E∝k-3和中尺度E∝k-5/3关系)进行定量分析以及比较,是评估以及检验此模式动力框架的合理性能的合适方法。

本文则是通过对分析六公里分辨率不同高度动能谱与波数、昼夜时次动能谱与波数、不同高度斜率分析，探究在不同尺度时，功率谱图与此分布规律的吻合度，能进一步评估该分辨率下该WRF模式的性能优劣。

1.模式设置与处理方法

WRF模式的设置如下：时间上从2015年4月28日00时（UTC）起报，预报时长为18小时。模式区域的水平分辨率为6km，母网格中心点在东经118.5041，北纬32.7444经向格点数是271，纬向格点数是271，垂直层数41层,模式顶气压为50hpa。所有的集合成员采用相同的物理参数化方案（表 1），用以研究初值扰动方案的预报效果，每1小时进行一次边界条件更新，而且为了消除边界影响，进行DCT变换之前先删除各边十个格点，得到的数据受边界层影响很小。

表1 WRF模式参数设置

本文主要采用Denis、Cote和Laprise提出一种类似傅里叶变换的DCT变换（离散余弦变换）。将一维函数

推广到二维得到2D-DCT正变换公式，将2D-DCT应用于有限区域二维气象场得到二维谱系数F(m,n)，它是二维波数(m,n)的函数。而该二维气象场的总方差

可见总方差可以分解成不同二维波数(m,n)≠(0,0)的方差σ2(m,n)，也就是我们可以得到方差σ2(m,n)随二维波数(m,n)≠(0,0)的分布，称该方差谱为功能谱。显然该方差是二维波数(m,n)的函数，因此需要将该方差表示为一维波数k的函数，具体方法如下：定义归一化波数

对每个二维波数(m,n)≠(0,0)，其对应的归一化波数α，如果满足，

其中k=1,2…min(M-1.N-1)-1则将相应的方差σ2(m,n)加入S(k)。若定义格距为Δ，则归一化波数α对应的波长采用圆频率表示的波数，则S(k)是归一化波数区间的方差和，因此谱密度通常称为功率谱

2.数值模拟结果分析

2.1 风场功率谱分析

图1是整个高度层的风场功率谱图，整体分析来看，当波数很小时，能量分布很散，几乎没有规律可言，说明在很小尺度时能量与波数在高度层上不构成动力学和能量学关系，而在中尺度和大尺度范围，图像反映规律很明显，41个高度层的风场能量谱分布很密集，在每个高度表现出相同的趋势，在中尺度的斜率与E∝k-5/3几乎平行，过渡到大尺度时，斜率有明显变大，逐渐接近E∝k-3，但比k^-3略小，当波数越来越趋近10^-3时，斜率急剧增加，很可能是模式的耗散作用造成的。总体而言，基本符合动能谱分布规律，说明该模式在中尺度吻合度很高效果很好，大尺度略差。为了更细致分析，找出模拟效果最好的高度层，取每隔八层作时间平均的功率谱图，如下。

图1 功率谱图

从图2可以看出，第1层能量值大尺度范围内最小，之后在中尺度迅速增加，第33层能量值在中尺度和大尺度范围内最小，且能量随着高度的升高而减小，到第33层之后又开始增加，说明中尺度波动能量也随高度增高而先减小后增大，即在对流层低层大气活动剧烈，与地表能量交换频繁，到对流层中上层地表热力影响较小，能量会较小，之后能量增加是因为到了高空风速增加很快，风速大，蕴含的动能大，因此会先减小后增大。

图2 每隔八层功率谱图

2.2 动能谱斜率分析

表2为第1层到第41层每隔8层的功率谱斜率，图3为第1层到第41层每隔8层的功率谱斜率与大尺度-3和中尺度-5/3的偏移值。可以看出拟合效果最好的是在第33层，吻合度极高，在大尺度的误差为0.2467，中尺度也十分吻合，误差仅为0.1036。平流层的吻合度很高，中尺度误差0.5412，大尺度误差0.6102，因此可以看出，WRF模式对于对流层上层和平流层底层的拟合效果很好。由于第33层的吻合度极高，所以对其上下两层进行功率谱的斜率和斜率偏移量分析，并结合这五层的功率谱图，从定量和定性两方面找出拟合效果最佳的高度。

表2 不同高度上的斜率

表3 斜率偏离值

表4 不同高度上的斜率

表5 斜率偏离值

在高度较高的地方，斜率更为符合观测到的结果，即高层大气的动能谱特征较为符合真实大气的情况。从图3定性分析可以看出这五层的功率谱图在中尺度范围内几乎重合，完美的契合了中尺度E∝k-5/3，大尺度E∝k-3的分布关系，而从定量分析，这五层斜率和斜率偏移量误差都很小，在小数点后两个量级。说明这几层高度的大气相对稳定，没有很强的湍流交换和垂直运动，该WRF模式能很好地模拟出这些高度的大气运动，效果很好，说明了WRF模式中的参数化方案选的很合适六公里分辨率。所以在六公里分辨率的风场来看，WRF模式对于对流层高层有着极佳的拟合效果，这也与前人的研究不谋而合。

图3 5个高度层的功率谱

2.3 昼夜时次的功率谱图

图4 白天的平均层次功率谱图

前面我们已经分析了动能谱斜率的大小，大尺度和中尺度的斜率的转折，分析了不同高度的功率谱随着时间发展的演变结果，分析了对时次进行平均的不同高度的功率谱的差异，并得出了结果。下面，针对太阳辐射的昼夜变化导致的大气运动和能量的昼夜变化，我们分析基于WRF模式生成的风场数据的功率谱，来比较其白天和夜间的能量差异，资料是4月28日00时到4月28日18时（世界时）的资料，对应的北京时应该加八个小时，即为28日08时到29日02时（北京时），取白天为08时到18时，夜间为18时到02时。

从图可以看出能量高的地方很密集，几乎重合，能量低的地方很分散，尤其是大尺度，而且受“spin up”时间的影响，模式刚开始运行时刻（最下面的功率谱线）误差很大，初始时刻能量小于其他时刻，为了更好客观的分析白天与黑夜能量谱图，消除“spin up”时间的影响，便舍去前两个小时的数据，白天取28日10时到18时，黑夜取28日18时到29日02时。

图5是消除“spin up”时间的影响后对最优的31层到35层白天和黑夜功率谱图。从两张图的整体趋势来看，依然十分吻合能量谱和波数分布规律，在中尺度白天和黑夜功率谱斜率平行于红色虚线，在大尺度白天和黑夜功率谱斜率平行于黑色虚线。但是对比来看，相同波数下黑夜的功率谱比白天的功率谱大，尤其是在波数在中尺度范围，白天大致与红色虚线重合，黑夜远大于红色虚线，有力的说明了白天的能量小于夜间的能量，这要归因于当日的天气的昼夜差异，白天的天气晴好，大气的运动较为平静，风速小，而夜间的天气较差，大气运动较为剧烈，风速大。

图5 五层昼夜功率谱图（左白右黑）

图6可以看出无论是对流层高中低层，还是平流层的低层，中尺度黑夜的风场能量都比白天的风场能量要大，从第1层、第17层、第33层和第41层都能明显看出此现象，黑夜能量远大于白天能量，而第9层到第25层黑夜能量只是略大于白天的能量。在中尺度第1层黑夜能量明显大于白天能量，随着高度增加，差异变小，随着高度继续增高，情况再次反转，差异随着高度升高变大。因此可以推测昼夜的能量差异随着高度的变化是先变小在某层之后再继续变大。说明低层昼夜能量差异很大，有较强的地表加热作用，这与当天的天气也是吻合的，到了高空，这种作用自然而然减弱，昼夜能量差减小。

图6 第1层到第41层每隔八层白天和黑夜功率谱图

3.结论

本文对六公里分辨率进行了系统全面的分析，从整层的时间平均功率谱图，每隔八层和最佳高度层的斜率和斜率偏移量，消除“spin up”时间的影响，特定高度的昼夜功率谱图来研究WRF模式在不同条件的拟合效果，得出了以下结论。

（1）本文设置的WRF模式能较好的模拟风场，尤其是在对流层高层中尺度范围，动能谱与波数高度吻合E∝k-5/3，斜率偏移量最小为0.0752，误差小到可以忽略不计，在大尺度拟合效果也很好，高层的斜率偏移量在0.2左右，说明了WRF模式参数设置对于该分辨率中尺度和大尺度的拟合效果出众，也进一步证实了大气的动能谱与其波数存在规律，在大尺度区域（800km以上），符合E∝k-3，而在中尺度区域（400km以下）则满足E∝k-5/3关系。

（2）通过删除初始几个时刻的风场数据来消除“spin up”的影响，并对WRF模式拟合效果最好的对流层高层和每隔八层的特定高度进行昼夜能量谱对比分析，发现在降雨天气，中尺度范围黑夜的能量大于白天的能量，而且其差值随着高度的升高而变大，这种规律与天气密切相关。在大尺度范围，整层的能量谱在昼夜表现出相同的分布规律，。

（3）该WRF模式较好的模拟了下垫面的加热作用，至于高层出现的昼夜能量差异，是因为晚上出现雷暴导致，雷暴的出现则说明对流极其旺盛，达到了50hpa的高度，白天天气晴好，高空风速差异不大，晚上雷暴天气使得垂直方向风切变很大，风速随着高度变化显著，这就导致了昼夜能量随着高度差异变大。