王 丽

(湛江幼儿师范专科学校数学系 广东湛江 524037)

高等代数是高等院校数学专业一年级的必修课程之一，不少学生在开始学习高等代数之后，认为它的概念多，理论证明抽象，知识点分散，即知识之间的联系不强、前后衔接不上，认为在学习中无从下手。本文从最常用的词语“最小”出发，结合高等代数的知识，通过最小数域、最小子空间、最大公因式、最小公倍式以及最小多项式，解决学生在学习高等代数时无从下手的难题、强调高等代数中知识的联系，使学生形成对高等代数的整体认识。

我们知道，代数学的基本研究对象是数，数是可以进行加、减、乘、除（除数不为零）四种运算的，还可以比较数与数之间的大小（虚数除外），所以我们可以在有限数集或某些无限数集中找到最小的数。若把数集看作一个整体，那如何比较数集的大小呢？从历史上看，我们对数集的认识，通常是采用两种方法进行扩展的：一是添加元素法；二是构造法，而为了适应学生的年龄特点和接受能力，我们主要采用添加元素并强调运算的方法来对数集进行扩展，即

在这个意义下，正整数集可以说是最小的数集。文[1]中也介绍了两个特殊的数集：数环（对加、减、乘三种运算封闭的数集）和数域（对加、减、乘、除四种运算封闭的数集）。

一、最小的数环、最小的数域

数环、数域是贯穿高等代数的一个基本概念，在每章中都有体现，例如欧式空间，它是实数域上定义了内积的向量空间，这里就特别指明是实数域；再如二次型的典范形，同一个二次型在实数域和复数域上的典范形一般是不同的，如二次型q(x1,x2,x3,x4)=3x22+12x32+6x1x4-12x2x3-8x3x4，在实数域上的典范形为y12+y22+y32，而在复数域上的典范形为z12+z22+z32，于是实二次型的典范形由二次型的秩和正惯性指数决定，而复二次型的典范形只由二次型的秩唯一决定。无独有偶，使用这种集合的包含关系来比较大小的量，在向量空间中也有体现：

2.设W1，W2是向量空间V的两个子空间，则W1+W2也是V的一个子空间，且W1+W2是既包含W1又包含W2的最小子空间，也就是说，既包含W1又包含W2的V的子空间都包含W1+W2。

对于多项式来说，多项式大小的比较就不是它们之间的包含关系了。

二、最大公因式、最小公倍式

两个多项式一般有多个公因式，那如何体现公因式中最大的那个呢？在多项式中，最大公因式是从整除上来体现的。设f(x)、g(x)是数域F上的任意两个多项式，称F上一个多项式d(x)为f(x)、g(x)的最大公因式，若

1.d(x)是f(x)、g(x)的公因式；

2.d(x)能被f(x)、g(x)的任一公因式整除。

注意，在此定义下，f(x)与g(x)的最大公因式不止一个，而是一类，即cd(x)(c≠0)都是f(x)与g(x)的最大公因式，这与我们一般意义下的“最大”相悖。为了体现f(x)与g(x)的最大公因式是唯一的，我们约定把f(x)与g(x)的最大公因式中最高次项系数为1的那个作为f(x)与g(x)的最大公因式，记为（f(x)，g(x)）。此时f(x)与g(x)的最大公因式就是唯一确定的。计算f(x)与g(x)的最大公因式常用的方法：一是辗转相除法；二是比较它们的标准分解式。于是可约多项式、不可约多项式、综合除法、多项式的根等一系列的问题就解决了。同样的，称数域F上一个多项式m(x)为f(x)、g(x)的最小公倍式，若

1.m(x)是f(x)、g(x)的公倍式；

2.m(x)能整除f(x)、g(x)的任一公倍式。

同样的，在此定义下，f(x)与g(x)的最小公倍式不止一个，而是一类，即cm(x)(c≠0)都是f(x)与g(x)的最小公倍式，这与我们一般意义下的“最小”相悖。为了体现f(x)与g(x)的最小公倍式是唯一的，我们约定把f(x)与g(x)的最小公倍式中最高次项系数为1的那个作为f(x)与g(x)的最小公倍式，记为[f(x)，g(x)]。此时f(x)与g(x)的最小公倍式就是唯一确定的，且若f(x)与g(x)都是最高次项系数为1的多项式，则有f(x)·g(x)=（f(x)，g(x)）·[f(x)，g(x)]。

例1：设f(x)=x4+x3-3x2-4x-1,g(x)=x3+x2-x-1，使用辗转相除法：

所以(f(x)，g(x))=x+1。

另外还可以分别写出f(x)与g(x)的在有理数域上的典型分解式：

f(x)=(x+1)(x3-3x-1),g(x)=(x+1)2(x-1)，

显然(f(x)，g(x))=x+1，且x3-3x-1在有理数域上是不可约多项式（不能直接使用爱森斯坦因判别法判别，用代替后再使用爱森斯坦因判别法证明x3-3x-1在有理数域上是不可约多项式），而且从典型分解式中很容易看出f(x)与g(x)的有理根。

三、最小多项式

在一元多项式环F[x]中，还有一类多项式，称为最小多项式[2][3]。它是代数论中的一个基本概念，与矩阵有关，是使f(A)=0的最高次项系数为1、次数最低的一个多项式，其中A为n阶矩阵。首先A这样的矩阵是存在的，因为A为n阶矩阵，而A所在向量空间Mn(F)的维数是n2，所以Mn(F)在中任意n2+1为矩阵总是线性相关的，不妨设这n2+1个矩阵为

解：由于矩阵A的特征多项式为

于是fA(λ)的最高次项系数为1的因式有：

λ-2，λ+1，(λ-2)(λ+1)，(λ-2)2，(λ-2)2(λ+1)

直接计算可得A-2I≠0，A+I≠0，(A-2I)(A+I)=0，从而矩阵A的最小多项式为(λ-2)(λ+1)。

从此题中可以得到矩阵A的特征值、特征向量，由此判断矩阵A可否对角化；再有，矩阵在给定基下与线性变换建立了一一对应的关系，所以还可以得到相应线性变换的本征值、本征向量，特别地，欧式空间中有两个特殊的线性变换：正交变换和对称变换。

于是，通过“最小”二字，我们把高等代数中的二次型、多项式、矩阵、行列式、欧式空间、线性变换等内容联系在一起，在这个基础上再对内容进行扩展，就可以得到高等代数中更多的内容。再如，给出“向量”，我们的第一反应“这是解析几何中的概念”，在解析几何中我们研究了向量的加法及数乘运算（统称为线性运算）、向量的线性相关性等内容，这些内容在高等代数中同样成立，可以说高等代数中的向量是解析几何中的向量的推广：从二维、三维向量空间推广到n维向量空间、无限维向量空间。向量空间从具体的二维、三维向量空间抽象出向量空间的本质：数域F、非空集合V、叫做加法和数乘的两种运算、两种运算满足8条运算规律。常见的向量空间有V2、V3、Fn、Mn(F)、C[a,b]、F[x]、Fn[x]等。由向量组的线性相关性的定义，可以得到向量组的线性相关性取决于齐次线性方程组是否有非零解：若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则向量组线性相关；向量的线性表示则与线性方程组是否有解有关，而方程组的解问题又取决于它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等，这是线性方程组的内容。当方程组有无穷多解时，解的表示又可以使用基础解系等。

总之，高等代数中的内容不是孤立的知识点的累积，是初等代数的继续和提高。整体来看，高等代数主要是三部分内容：多项式理论、线性代数和群环域简介，其中重点内容是线性代数部分。下面用一个图表说明高等代数中各知识之间的联系，解决学生在学习高等代数时无从下手的难题，使学生形成对高等代数的整体认识。