邓瑞娟，崔洪瑞

1.芜湖职业技术学院基础部，安徽 芜湖 241003；2.广东药科大学医药商学院，广东 广州 510006

0 引言

线性微分方程是微分方程的重要组成部分，在生产实际中应用极其广泛.因此，如何寻找线性微分方程的通解，成为求解很多数学模型的关键步骤.自微积分创立以来，对线性微分方程通解的研究几乎就没有停止过，也得到了很多有意义的结论，但大多数的研究主要是围绕常系数情形展开的[1～3].

除了常系数的情形之外，变系数线性微分方程在动力学、工程学、经济学中也是很常见的.其通解虽不易求，但也有一些结论出现[4,5].其中，文献[4]讨论了形如

y″+p(x)y′+q(x)y=0

(1)

的二阶变系数齐次线性微分方程.文中指出

为(1)式特解的充要条件为

(2)

成立.同时，(1)式通解可表达为

(3)

其中C1、C2为任意常数.但是文献[4]中对于非齐次的情形未予讨论.

本文旨在文献[4]的基础之上，运用常数变易法给出非齐次情形下微分方程的通解，并将结果推广至二阶欧拉方程.

1 二阶变系数非齐次线性微分方程的通解

二阶变系数非齐次线性微分方程形如

y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)

(4)

其中p(x)、q(x)、f(x)为连续函数，其对应的齐次方程即为(1)式.

运用高阶常数变易法[6]，令

(5)

y1和y2是方程(1)的基本解组，因此，Y(x)=c1y1+c2y2为齐次方程(1)的通解.现只需确定未知函数v1，v2，使(5)式满足非齐次方程(4)，即可得到对应的非齐次情形的通解.将(5)式代入原方程，可得v1，v2满足如下方程组.

因此，非齐次方程(4)的通解可总结为下述定理.

定理1 若存在常数λ(λ≠0,1)，使得方程(4)的系数p(x)、q(x)满足(2)式，则方程(4)的通解可表……