王雪芹, 李晓艳, 陈雨婷

(安徽大学数学科学学院,安徽 合肥230601)

0 引 言

随着非奇异核分数阶导数的兴起,许多学者致力于含有非奇异核分数阶系统的研究[1-9]中去。其中,多变量分数阶系统的稳定性分析更成为一个难点问题,目前也已取得了一定的成果[10-12]。在前人工作的基础上,主要利用一个新的比较原理,结合李雅普诺夫方法,通过构造一个已知渐近性结果的分数阶系统,利用其渐近稳定性确保原分数阶系统的渐近稳定性。将考虑如下多变量分数阶微分系统:

或其矩阵形式为

1 预备知识

在本节中,将给出一些重要的定义与引理,具体的可参照相关文献[5,6,7,9]。

定义1.1[6,7]函数f(t)是[0,b]上的可微函数,并且f'∈L1(a,b)。则其ABC-分数阶导数定义为:

其中0＜α＜1,0＜t＜b,B(α)代表标准化函数。定义中的Eα代表单参数的Mittag-Leffler函数,单参数和双参数的Mittag-Leffler函数分别定义为

定义1.2[6,7]ABC-分数阶导数和双参数的Mittag-Leffler函数的Laplace变换定义为:

引理1.3[5]设x(t)∈ℝn是连续可微的向量函数,P∈ℝn×n是对称正定的常矩阵,则有:

引理1.4[9]给定α∈ℝn,β∈ℝn,则有如下关系式成立:

2 主要结论

本节利用数学归纳法得到推广的比较原理,并运用李雅普诺夫方法,得出主要内容。

引理2.1(比较原理)考虑下列的分数阶微分不等式

其中0＜αi≤1,i=1,2,…,d。与之相对应的比较分数阶微分系统为

初值条件为v ni(0,x ni(0))≤u ni(0,y ni(0)),i=1,2,…,d。其中k ii＜0,i=1,2,…,d,并且k ij≥0,i＞j。则 有v ni(t,x ni(t))≤u ni(t,y ni(t)),i=1,2,…,d。

证明:(i)当i=1时,从(3)中可以得到,存在非负函数m n1(t)使得

上式两端Laplace变换可得

其中V n1(s)=L{v n1(t,x n1(t))},v n1(0)=v n1(0,x n1(0)),M n1(s)=L{m n1(t)},整理得

从(4)中可以得到

由(5),(6)和初值条件可得

(ii)假设当i=d-1时,有

当i=d时,存在非负函数m n d(t)使得

所以

由(8),(9),(10)和初值条件可得

由归纳假设可知,结论成立。……