方 鹏，李 芳，刘 凡，江卓翰

（上海理工大学 管理学院，上海 200093）

大型机器设备工艺精密、造价高昂，如果设备发生了故障，将会产生高额的成本费用，增加生产成本。在良好的操作条件下保持生产，保证高质量标准，以及制定合理的生产计划，这些对于满足客户需求和采用新的管理系统至关重要[1]。因此，需要经常对设备进行预防性维护，这样可以在减少故障发生的同时维持设备系统持续稳定的运作，对提高产品生产质量、降低生产成本具有重要的作用[2]。

在过去的几十年中，基于时间的预防性维护研究有许多[3-5]，这些研究认为预防性维护可以降低设备发生故障的概率，减少设备因发生故障造成的损失。文献[6]讨论了一种用于制造单元的生产库存控制和预防性维护策略的联合优化集成方法。但对设备进行周期性的预防性维护，会出现过度维修的情形，引起生产时间和生产材料等人力、物力的浪费[7]。因此，如何确定预防性维护的周期，避免生产设备出现故障的同时降低由于维修行为产生的停工损失与维修成本，成为学者们研究的方向。生产设备进行产品生产，在排除人工技术等外部因素的条件下，产品的质量往往与设备的状态有关。控制图方法作为统计过程控制（statistical process control, SPC）实施的重要检测手段和工具，是基于对生产过程中产品质量的关键特性值进行测定、记录和评估，绘制出相应的产品质量特性值统计图，并根据假设检验原理对生产过程是否处于控制状态进行判断的统计图形方法[8]。对于生产设备状态的监测，可以通过控制图来进行判断。因此，考虑控制图监测生产设备产品质量与制定维护策略相结合的方法有待进一步的研究。

许多学者开始考虑生产设备、产品质量与维护策略的结合。Ben-Daya等[9]建立控制图和设备维修的联合经济模型，用来衡量设备预防维修对质量管理成本的影响，研究发现，考虑设备预防维修可以减少总的期望成本。文献[10]提出绘制产品质量的控制图来对生产设备的状态进行判断，以此来决定采取何种预防性维修策略。文献[11-12]提供了有关行业中预防性维修计划和方法的文献综述。赵永强[13]将控制图用来监控设备零备件失效情况，从经济性角度出发，建立预防维修模型，确定控制图的参数。张斌等[14]利用马尔科夫链的方法，建立控制图与维修的优化模型，得出了控制图参数和维修周期的确定方法。赵永强[15]将设备预防维修与均值控制图结合，设置预防维修的警戒边界，发现在控制图预警区域报警时执行预防维修的单位时间期望成本比未考虑预防维修的成本要低。成国庆等[16]提出了多设备系统的生产批量、质量控制与预知维护联合优化。Khatab等[17]针对劣化制造系统，提出关于产品质量与基于状态维护的联合优化模型。周炳海等[18]针对需要实时监控产品质量与设备状态的带缓冲退化生产系统的设备维护问题，提出综合考虑控制图及缓冲区的串行生产系统维护建模方法。Pasha等[19]在Ben-Daya和Rahim模型的基础上，采用了降低综合危害程序的方法，将检查间隔确定为一种保守的策略，进行算例分析。

上述研究涉及控制图与预防性维修的结合，但对控制图不完美检测的情形未深入考虑。控制图在监控过程中可能出现“误报警”与“漏报警”，忽略这样的情况会使控制图发出错误的预防维修信号，造成不必要的损失。李春发等[20]提出基于不完美监测下的控制图结果，依据更换过程理论制定维修策略，建立模型。本文在此基础上，采用均值控制图对产品质量进行监控，根据控制图的报警信息与预防性维护周期采取相应的设备更新策略，以此建立联合费用模型。本文对考虑产品质量控制的生产系统预防维护策略进行研究，分析了控制图延时报警与异常报警下的情况，将实际可能出现的异常状况纳入考虑范围，具有现实的指导意义，对生产控制、降低费用、分析设备异常情况具有借鉴作用。

1 问题描述

设备在生产产品过程中会存在控制中和失控状态，设备系统处于失控状态时往往不能立即反映出来被直接观察到，但会引起产品质量特性均值的异常偏移，因此可以通过均值控制图来对产品质量进行监控。假设产品的质量特性服从正态分布，控制图会对生产过程中出现的异常状况进行报警。如果未报警，那么在设备运行T时间后进行预防性维护，对生产系统进行更新；反之，控制图在T时刻前报警，则立即检测设备系统状况。假设检测过程十分准确且高效，检测发现是误报警，则对设备进行最小维护，保持原样不更新设备，假设最小维护时间忽略不计；检测发现是机器设备内部故障，则采取故障维修，设备恢复如新。

采取均值控制图监控，当系统过程处于控制中状态时，产品质量特性X～(μ,σ2)；当系统过程处于失控状态时，产品质量特性X会发生异常偏移，即X～(μ+δσ,σ2)。其中，δ表示过程偏移σ的平均偏移量，反映了偏移的程度。因此，整个更新过程是由设备到达预防性维护时间点进行更新和均值控制图正确报警进行维修更新决定的，如图1所示。

图1 系统更新情景Fig.1 System update scenario

图中：情形S1表示在运行时间T内控制图未出现报警或者控制图报警都是误报警，此时系统在运行T时间后的预防维护时间点更新；情形S2表示在运行时间t时刻系统出现异常，时刻t处于第i到第i+1次抽样检测期间，而在第j次抽样时控制图才正确报警，因此系统在第j次抽样后进行故障维修更新设备；情形S3表示在运行时间T内控制图漏报警，而实际上系统在t时刻已经出现了异常，系统在运行T时间后的预防维护时间点进行故障维修更新设备。

假设每次更新过后设备系统都恢复如新，将整个更新过程看成一个周期，管理费用忽略不计。以更新周期内的单位时间期望总费用最低为目标建立模型，确定合适的预防维护时间间隔T以及控制图的参数设置。

2 符号描述及假设

2.1 符号描述

基本符号描述如表1所示。

表1 相关符号描述Tab.1 Related symbol description

2.2 假设

假设1更新时间内会针对不同的情形采用最小化维护、预防性维护和故障维修3种维护策略。由于最小化维护是诸如加润滑油等维护行为，不改变设备状态，因此假设最小化维护时间忽略不计。

假设2假设控制图报警会立即监测判断设备状态，监测时间忽略不计。

假设3系统发生异常时的概率密度函数已知，表达式为f(t)=λe-λt，t∈[0,T]。

3 模型建立

根据以上描述的3种更新情形建立均值控制图监测与预防维护策略相结合的联合优化模型，对依据产品质量绘制的均值控制图、更新周期内的期望时间和期望费用分别进行描述。

3.1 均值控制图

系统生产过程中采用控制图进行监控，根据产品质量绘制均值控制图。假设设备生产的产品质量特性服从正态分布，即产品质量特性。系统正常时μ=μ0，σ=σ0；系统出现异常时μ=μ0+δσ，σ=σ0，此时，质量均值漂移量为δ。均值控制图的上限和下限分布表示为

当产品质量特性均值介于控制界限内时（即XLCL≤≤XUCL），系统处于控制中状态，系统正常运行；当产品质量特性均值超过控制界限时（即≥XUCL或≤XLCL），系统处于失控状态，需要进行维护更新。其中，控制图正确报警的情景如图2所示。

图2 控制图正确报警情景Fig.2 Correct alarm scenario of control chart

样本均值为，定义为。控制图在监测过程中可能会存在误报或者未能监测出设备状态的情形，即称为“误报警”与“漏报警”。设控制图出现误报警的概率为α，控制图出现漏报警的概率为β，则它们分别表示为[21]

3.2 更新周期内的期望时间和期望费用

导致系统更新的情形有S1，S2，S3这3种情况，因此需要分别计算3种情形下的期望时间和期望费用。各种情形下的更新周期期望时间包括系统运行时间和维护时间，更新周期期望费用包括样本抽样费用、维修费用、质量损失费用和停机损失费用，以此建立单位时间期望费用模型。预防性维护周期定义为T，抽样时间间隔为h，故预防维护周期内的最大抽样次数为m（m=[T/h]，[]表示对式子取整）。

a.S1情形下的期望时间和期望费用。

S1发生即为在预防维护时间点T之前未出现系统异常，则S1出现的概率表示为

S1情形下的期望时间包括正常运行时间和预防性维护时间，表示为

S1情形下的期望费用包括样本抽样费用、预防维护费用、质量损失费用和停机损失费用，表示为其中，质量损失费用包括系统运行的损失费用和误报警造成的损失费用，而误报警发生的次数为。TARL0=1/α，表示控制中状态下平均运行时间。

b.S2情形下的期望时间和期望费用。

情形S2表示在运行时间t时刻系统出现异常，时刻t处于第i到第i+1次抽样检测期间，而在第j次抽样时控制图才正确报警，故系统在第j次抽样后更新。该情形下确定会出现正确报警，计算出现正确报警的概率为1-βm，则S2的发生概率为

S2情形下的期望时间包括正常运行时间、失控状态下的运行时间和故障维修时间，表示为

式中，Tin(2)为正常运行时间，已知系统的失控时间服从指数分布F(t)，且S2情形下失控时间在T时间内发生，故Tin(2)的表达式为

Tout(2)为失控状态下的运行时间且失控状态被监测，则Tout(2)的表达式为

式中，TARL1=1/β，是失控状态下的平均运行时间。

S2情形下的期望时间为

S2情形下的期望费用包括样本抽样费用、故障维修费用、质量损失费用和停机损失费用。其中样本抽样次数由运行时间决定，质量损失费用包括正常运行时的质量损失费用、失控状态下系统运行的质量损失费用以及误报警损失费用，该情形下误报警只会出现在系统异常失控时刻t前的样本抽样中。故期望费用表示为

c.S3情形下的期望时间和期望费用。

情形S3表示系统在t时刻已经出现了异常，但在运行时间T内控制图漏报警，则系统在运行T时间后进行故障维修。该情形下系统漏报警，计算漏报警的概率为βm，则S3发生的概率为

S3情形下的期望时间包括正常运行时间、失控状态下运行时间和故障维修时间。其中由于系统失控状态未被控制图监测出来，在t时刻出现异常后系统出现失控直到T时刻采取预防性维护进行更新。设Tin(3)和Tout(3)分 别代表了S3情形下系统的正常运行时间和失控状态下的运行时间，则Tin(3)与Tout(3)的表达式分别为

因此，此时的期望时间为

S3情形下的期望费用包括样本抽样费用、故障维修费用、质量损失费用和停机损失费用。期望费用表示为

3.3 更新周期内的单位时间期望总费用

综合考虑3种情形，根据更新周期内的单位时间期望总费用最小来建立模型，以此来确定预防维护时间点T以及控制图的参数n，h，k。模型表示为

为了得到合适的控制图参数设置与预防维护间隔期，使更新周期内的单位时间期望总费用最小，其目标函数为minE(C,T)(n*,k*,h*,T*)。由于目标函数存在多个变量，无法用常规方法直接求解得到最优值，因此需要借助算法工作求解。

4 模型求解算法

差分进化(differential evolution, DE)算法是一种高效的群智能优化算法。本文的目标是获得决策变量n,k,h,T的最优解，以求得最小的单位时间期望总费用E(C,T)，图3为差分进化算法流程图。算法中的X= (n,k,h,T)是一个四维解向量。

图3 差分进化算法流程图Fig. 3 Flow chart of differential evolution algorithm

该模型具体进化求解过程如下：

a. 确定差分进化算法控制参数。其中控制参数设置为种群大小NP、进化代数g、缩放因子F与交叉概率CR。

b. 随机产生初始种群。初始种群为一个n维参数矢量，表示为(i=1,2,···,NP)，其中NP为种群大小，n为决策变量的个数。

c. 对初始种群进行评价，计算初始种群中每个个体的适应度值。

d. 判断是否达到终止条件或进化代数达到最大。若是，则终止进化，将得到的最佳个体作为最优解输出；若否，继续步骤e。

e. 进行变异和交叉操作，得到2NP个新的个体。变异操作，随机选取种群中两个不同的个体，将其向量差缩放后与待变异的个体进行向量合成。对于目标个体，对应的变异矢量表示为。其中，F为缩放因子，r1，r2，r3为互不相同的个体索引，随机取自于种群集。

交叉操作，将当前个体与选择操作生成的n个个体组成小种群，对其中随机的一个个体进行交叉，按照式（20）生成实验个体,，表示为

式中：j=1,2,···,n,randj为[0,1]间的随机数；CR为交叉概率；randi∈(1,2,···,n)是随机选取的变量索引，确保有一维变量由变异变量贡献。

f. 将原种群和2NP个新的个体中通过适应度值排序，选取NP个最优的个体，得到新一代种群，更新种群最优解。

g. 进化代数g=g+1，转步骤d。

5 算例分析

已知某企业以速率D满足恒定且连续的产品需求，其产品质量特性X服从正态分布，即；当设备部件出现异常时，X的均值偏移量为δ=1.2而标准差不变，整个过程通过均值控制图进行监控。假设该设备出现故障的时间服从指数分布，故障发生的概率密度函数为f(x)=0.05e-0.05x，其余的相关参数分别为T1=1.5 h，T2=3 h，cα=10元/次，c1=800元/次，c2=1 500元/次，cq=25元/个，cl1=20元/h，cl2=45元/h，cd=800元/h，cs=25元/（个·h-1），D=20个/h。参数设置为：种群大小NP=20、进化代数g=300、缩放因子F=0.5、交叉概率CR=0.9。利用差分进化算法在Matlab中求解。

5.1 算例结果及对比

经过差分进化算法求解，最优解趋于稳定，最后目标函数值最小时的最优预防性维护间隔和控制图参数结果如表2所示。

表2 最优化参数结果Tab.2 Optimal parameter results

由表2的结果可以得知，预防性维护周期为198.73 h，即控制图未监测出异常的维护时间间隔。系统运行198.73 h后，即使没有出现故障也要进行预防性维护，让设备恢复如新。每次控制图抽检样本量为15个，抽样间隔时间为19.43 h，控制图的控制系数为2.03。

为考虑结果的精确性，将相同的数据分别利用差分进化算法和传统的遗传算法进行计算，发现差分进化算法计算的结果有更好的收敛性，如图4所示；而遗传算法的结果容易陷入局部最优，如图5所示。图中，横坐标g为迭代次数，纵坐标为单位时间期望总费用。

图4 差分进化算法结果收敛图Fig.4 Differential evolution algorithm results convergence graph

图5 遗传算法结果收敛图Fig.5 Genetic algorithm results convergence graph

5.2 灵敏度分析

为研究各参数对控制图参数n，h，k与预防维护时间T以及系统更新周期内的单位时间期望费用E(C,T)的影响，对参数δ，c1，c2，cq，cl1，cl2，cd，cs，T1，T2进行灵敏度分析。参数水平如表3所示，选用正交表得到的16次实验安排如表4所示，利用差分进化算法求解的结果记录在表5中。

表3 参数水平Tab.3 Parameters

表4 实验安排Tab.4 Experimental arrangement

表5 实验计算结果Tab.5 Experimental calculation results

根据Matlab得出的以上计算结果，利用Minitab软件对响应变量E(C,T)进行回归分析(a=0.05),得到的方差分析如表6所示，系数显著性检验结果如表7所示。

表6 回归方差分析Tab.6 Regression analysis of variance

表7 回归系数显著性检验Tab.7 Regression coefficient significance test

根据表6的方差分析结果可知，其P值为0，说明建立的模型有效，即存在参数对模型有显著影响。进一步由表7可知，δ和cl2两个参数的P值是0，说明对E(T,C)有十分显著的影响。其中，δ表现为负面影响，cl2表现为正面影响，即E(C,T)随着 δ的增大而减小，随着cl2的增大而增大。其次，c1，c2，cq，cl1和cs的P值均在(0,0.05)区间内，说明它们对E(C,T)影响显著，并且都表现为正影响。其余参数的P值都大于0.05，说明它们对E(C,T)无显著影响。

通过灵敏度分析表明，系统异常时的过程质量特性均值偏移量 δ对单位时间期望总费用E(C,T)具有十分显著的负向影响。这是由于均值偏移量 δ越大，控制图越容易监测出系统的异常状况，从而减少系统失控运行的时间，降低费用。在质量损失方面，无论是受控时的单位损失费用cl1，还是失控时的单位损失费用cl2，都对E(C,T)有显著的正向影响。另外，样本抽样费用和单位缺货费用对E(C,T)也有显著影响。因此，在保证生产质量和交货时间的前提下，应注意优化设备的质量管理水平。

6 结 论

利用均值控制图对生产产品质量进行监控，根据控制图以及预防性维护周期决定设备更新，考虑控制图出现“误报警”和“漏报警”的可能性，在单位时间期望总费用最小的前提下，建立控制图与预防性维护的联合模型。利用差分进化算法进行求解，通过实例分析验证了产品质量与预防性维护联合模型的可行性，并且通过算法对比，得出差分进化算法结果的准确性。通过灵敏度分析确定了对单位时间期望费用E(C,T)具有显著影响的因素，对指导企业优化经济指标具有参考价值。古典的维修模型多是根据时间来确定维修策略，本文通过产品质量将设备状态联系起来，建立联合维修策略，为复杂设备的生产、维护和质量的结合提供一定的理论依据。但通过均值控制图只能片面地反映出生产设备的状态，为了全面掌握产品质量与系统状态的联系，可以结合方差等监控对象，进一步深入研究。