借用图形面积巧解质点位移问题

2021-11-01王伟民

中学生数理化·高一版 2021年10期

■王伟民

质点做直线运动时,在t1～t2时间内的位移等于质点的v-t图像与横轴(t轴)围成的封闭图形的面积。在条件合适的情况下,利用求封闭图形面积的方法来求解质点在某段时间内的位移,往往能够达到事半功倍的效果。下面举例分析。

例1一质点从静止开始做直线运动,第1s内以加速度a=1m/s2运动,第2s内以加速度a'=-1m/s2运动,第3s内以加速度a=1m/s2运动,第4s内以加速度a'=-1m/s2运动,如此反复,经过100s此质点的总位移多大?

分析:因为质点在第1s内从静止开始做匀加速直线运动,在第2s内做匀减速直线运动的加速度大小和在第1s内做匀加速直线运动的加速度大小相同,所以第2s末质点的速度减小为0。质点按这样的规律运动时,奇数秒内都是做初速度为0的匀加速直线运动,偶数秒内都是做末速度为0 的匀减速直线运动,其v-t图像如图1所示。根据对称性可知,质点在每秒内的位移大小相等,且方向相同,因此质点在前ns内的总位移(n为正整数)是它在某1s内位移的n倍。本题既可以利用匀变速直线运动的位移公式求解,也可以利用v-t图像与横轴围成的封闭图形的面积求解。

图1

解法1:(利用匀变速直线运动公式求解)质点在第1s 内的位移x1==0.5m,质点在前100s 内的总位移x总=100x1=50m。

解法2:(利用v-t图像与横轴围成封闭图形的面积求解)x总=nS△OAB=100××1s×(1m/s2×1s)=50m。

点评

求解这道题时,两种解法的难易程度不分伯仲。

例2一质点从静止开始做直线运动,第1s内以加速度a=1m/s2运动,第2s内以加速度a'=-0.5m/s2运动,第3s内以加速度a=1m/s2运动,第4s内以加速度a'=-0.5m/s2运动,如此反复,经过100s此质点的总位移多大?

分析:本题与例1不同的是,质点从第2s开始,在以后的偶数秒内的加速度方向虽然仍与奇数秒内加速度的方向相反,但是大小不再和奇数秒内加速度的大小相等,而只是它的一半,因此在质点的整个运动过程中,除了开始时质点的速度为0,其余各时刻质点的速度都大于0,情况相对复杂。求解本题利用v-t图像与横轴围成封闭图形面积的方法要比利用公式法求解简单得多。

解:根据题目条件,作出质点的v-t图像如图2所示(为了便于比较,我们把例1中质点的v-t图像也画出来了),该图像由锯齿状的折线组合而成,折线中向右上方倾斜的各线段的斜率相同,都是1(单位:m/s2),折线中向右下方倾斜的各线段的斜率也相同,都是-0.5(单位:m/s2)。因为折线中各线段的水平宽度相同,都是1s,所以锯齿状v-t图像的向下凹陷的各点在同一条直线上;同理,锯齿状v-t图像的向上凸起的各点也在同一条直线上。作出过锯齿状v-t图像上向下凹陷各点的直线,容易证明,这条直线过坐标原点O。直线OP与锯齿状折线围成的图形由一排面积相等的三角形组成。选一组三角形(△ABD和△ABD)进行研究,因为△ABC与△ABD同底(以AB为底,AB的“长度”为m/s)且等高(均为1s),所以它们的面积相等。因为直线OP的斜率是,所以质点按题目所要求的规律运动ns之后的总位移(质点的v-t图像与横轴围成的封闭图形的面积)x总=。代入数据得x总=1287.5m。

图2

点评

本题也可以利用匀变速直线运动的位移公式进行求解,但是解题过程要麻烦得多,同学们可以尝试一下。

推广:一质点从静止开始做直线运动,第1s内以恒定加速度a运动,第2s内以恒定加速度a'运动(a'的方向与a相反),第3s内以加速度a运动,第4s内以加速度a'运动,如此反复,经过ns此质点的总位移多大?(已知a>0,

解析

作出质点的v-t图像如图3甲中锯齿状折线所示。可证,折线中向下凹陷的各点在同一条直线上,且过坐标原点O。直线OP与锯齿状折线围成的图形由一排面积相等的三角形组成,选△OAD进行研究,将其放大,如图3乙所示。因为AC=a,AF=-a'(a'<0),OC=CE=1s,所以BC=BF=a'),AB=AF+BF=-a'+(a+a')=(a-a'),tan ∠DOE=(a+a'),(a-a')。经过ns,质点的v-t图像与横轴围成的曲边形的面积(质点的总位移)等于△ABO面积的n倍与直线OP下方底为n,高为(a+a')n的直角三角形的面积,即x总=n·(a-a')+n[(a-a')+n(a+a')]。