■石汉荣 刘大鸣(特级教师)

以函数概念与性质为背景的创新问题,常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,考查同学们在新背景下收集信息、处理信息并应用函数概念等知识解决新问题的能力。

创新1:复合函数定义域中的“创新”

例1已知函数f(-x2+4x-1)的定义域为[0,m],可求得函数f(2x-1)的定义域为[0,2],则实数m的取值范围是____。

解:由f[g(x)]的定义域求f[h(x)]的定义域,可先求内层函数g(x)的值域,再根据整体变量观念转化为二次函数在[0,m]上的值域,即可确定自变量m的取值范围。

由函数f(2x-1)的定义域为[0,2],可得0≤x≤2,所以-1≤2x-1≤3。令t=-x2+4x-1,则-1≤t≤3。由题意知,当x∈[0,m]时,t∈[-1,3],作出函数t=-x2+4x-1的图像,如图1所示。

图1

由图可得,当x=0或x=4时,t=-1;当x=2时,t=3。所以当2≤m≤4 时,t∈[-1,3],故实数m的取值范围是2≤m≤4。

反思:已知f(x)的定义域求f[φ(x)]的定义域,就是解内层函数φ(x)的不等式;反之就是求内层函数φ(x)的值域。已知复合函数f[g(x)]的定义域,求复合函数f[h(x)]的定义域,这两个复合函数的外层函数相同,其内层函数的值域一定相同,可将问题转化为由函数的值域确定自变量的范围问题求解。

创新2:函数单调性中的“创新”

例2已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,若对于任意给定的实数x1,x2,且x1≠x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)

解:对于任意给定的实数x1,x2,且x1≠x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)

当x+1>0时,因为(x+1)f(1-2x)<0,所以f(1-2x)<0,所以1-2x>0,据此解得>x>-1;当x+1<0时,因为(x+1)f(1-2x)<0,所以f(1-2x)>0,所以1-2x<0,此时无解。

反思:函数f(x)在定义域D上单调递增⇔函数f(x)在定义域D上,当x1≠x2时,>0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立。函数f(x)在定义域D上单调递减⇔函数f(x)在定义域D上,当x1≠x2时,<0 或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立。

创新3:函数对称轴中的“创新”

例3已知函数f(x)满足f(-x)=f(x),当a,b∈ (-∞,0)时,总 有>0(a≠b)。若f(2m+1)>f(2m),则m的取值范围为____。

解:当a,b∈(-∞,0)时,总 有>0(a≠b),则f(x)在(-∞,0)上单调递增。因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减。因为f(2m+1……