■廖庆伟

函数是高中数学的重要内容,也是高考的必考内容。在求解函数问题时,要深刻理解函数的概念,灵活运用概念。

雷区1:忽视函数的定义域

例1函数f(x)=(1+x)是()。

A.奇函数

B.偶函数

C.奇函数也是偶函数

D.非奇非偶函数

雷区排查:对定义域内任意的x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),其实质是函数的定义域关于原点对称。这是函数具有奇偶性的必要条件。

正解:要使此函数有意义,需满足≥0且1+x≠0,即-1

雷区2:忽视换元后新元的取值范围

雷区3:对分段函数的概念理解不透

例3已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为____。

错解:由f(1-a)=f(1+a),可得2(1-a)+a=-(1+a)-2a,即a=-

雷区排查:对于分段函数问题,首先要确定自变量的取值属于哪个区间,再选取相应的关系式求解。

正解:当a>0时,1-a<1,1+a>1,这时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a,由f(1-a)=f(1+a),可得2-a=-1-3a,解得a=-<0,不合题意;当a<0 时,1-a>1,1+a<1,这时f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a,由f(1-a)=f(1+a),可得-1-a=2+3a,解得a=-。故a的值为-。

雷区4:忽视对二次函数的对称轴位置的讨论

例4求函数f(x)=x2-4ax+1在区间[0,2]上的最大值和最小值。

错解:当x=0 时,f(x)取得最小值f(0)=1;当x=2 时,f(x)取得最大值f(2)=5-8a。

雷区排查:因为函数f(x)=x2-4ax+1的对称轴x=2a的位置不确定,所以要讨论对称轴x=2a与区间[0,2]的关系。

正解:函数f(x)=x2-4ax+1 在区间[0,2]上的最大值和最小值分区间讨论求解。

①当2a<0,即a<0时,由函数f(x)的图像开口向上,可知f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以当x=0 时,f(x)取得最小值f(0)=1,当x=2 时,f(x)取得最大值f(2)=5-8a。②当0≤2a≤1,即0≤a≤1 2时,由f(x)的图像开口向上,可知f(x)在区间[0,2a]上单调递减,在[2a,2]上单调递增,所以当x=2a时,f(x)取得最小值f(2a)=1-4a2,当x=2时,f(x)取得最大值f(2)=5-8a。③当1<2a≤2,即a≤1时,由f(x)图像开口向上,可知f(x)在区间[0,2a]上递减,[2a,2]上递增,所以当x=2a时,f(x)取得最小值f(2a)=1-4a2,当x=0时,f(x)取得最大值f(0)=1。④当2a>2,即a>1时,由f(x)图像开口向上,可知f(x)在区间[0,2]上递减,所以当x=0时,f(x)取得最大值f(0)=1,当x=2时,f(x)取得最小值f(2)=5-8a。

雷区5:忽视函数图像不连续

例5函数f(x)=x+的零点个数为()。

A.0 B.1

C.2 D.3

错解:因为f(-1)=-2,f(1)=2,所以f(-1)f(1)<0,可知此函数在(-1,1)上有1个零点。应选B。

雷区排查:解决函数的零点问题,应先考虑定义域,再考虑函数的图像是不是连续的。这里函数的图像是不连续的,所以不能用零点判定定理进行判断。

正解:此函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)。当x>0 时,f(x)>0,当x<0 时,f(x)<0,所以函数没有零点。应选A。

或者,由x+=0(x≠0),可得方程x2+1=0无实数解。应选A。

雷区6:混淆函数图像的变换规律

例6设函数y=f(x)的定义域为R,则函数y=f(x-2020)与y=f(2020-x)的图像关于()。