崔姝姝, 任芳国

(陕西师范大学 数学与统计学院, 陕西 西安710062)

分块矩阵是推导矩阵不等式的重要工具之一,通常分块矩阵是2阶的。文献[1]主要研究了凸函数弱优化不等式。文献[2]介绍了严格单调函数上的整数不等式。文献[3-4]中大量的工作都通过矩阵范数不等式研究半正定分块矩阵中奇异值和特征值不等式。文献[6-8]主要研究了矩阵在凸函数上的奇异值不等式。文献[9-10]介绍了在半正定分块矩阵上的特征值不等式。文献[11]研究了凸函数上艾米特算子的性质。 本文主要提出了半正定分块矩阵的奇异值不等式, 随后利用Courant-Fischer定理得到了在一定条件下半正定分块矩阵凸函数奇异值不等式及其特殊情况。

1 符号约定及预备知识

为了叙述方便, 我们对文中符号进行约定:Mn(C)表示n阶复矩阵集合，Cn表示n×1维复向量集合,A*表示矩阵A的共轭转置, ‖A‖2表示矩阵A的谱范数,In表示单位矩阵，简记为I,σ(A)表示矩阵A的奇异值,σi(A)表示矩阵A的第i个奇异值,λ(A)表示矩阵A的特征值,λi(A)表示矩阵A的第i个特征值,A⊗B表示矩阵A和矩阵B的直和。其它未作说明的概念参见文献[1-2]。

下面先给出一些矩阵的概念及引理。

定义1[12]∀s,t∈I，0≤α≤1，若

f(αs+(1-α)t)≤αf(s)+(1-α)f(t),

则称f为区间I上的凸函数。

定义2[12]∀s,t∈I,若s≤t, 则f(s)≤f(t), 则称f为区间I上的增函数。

引理1[13]设A,B∈Mn(C)，则

引理3[13]设A,B∈Mn(C)是半正定矩阵,1≤i1

引理4[14]设A∈Mn(C), 若f在区间I上是非负增函数, 则

f(σj(A))=σj(f(|A|)),j=1,2,…,n。

引理5[14]设A∈Mn(C)是Hermite矩阵, 若f在区间I上是非负增函数, 则

f(λj(A))=λj(f(A)),j=1,2,…,n。

引理6[14]设A∈Mn(C)是Hermite矩阵, 则

其中u1,u2,…,uk为λ1,λ2,…,λk对应的正规正交向量。

引理7[14]设A∈Mn(C)是Hermite矩阵, 若f在区间I上是凸函数, 则

f(〈Ax,x〉)≤〈f(Ax,x)〉。

引理8(Courant-Fischer定理)[13]设A∈Mn(C)是Hermite矩阵,λ1≥λ2≥…≥λk为矩……