陈 磊,许俊莲

(1. 宝鸡文理学院 物理与光电技术学院, 陕西 宝鸡 721016;2. 宝鸡文理学院 数学与信息科学学院, 陕西 宝鸡 721013)

1970年，ROSENTHAL首次对于独立随机变量提出并证明了相应的Rosenthal不等式[1]。随后, Rosenthal型不等式在概率统计各种理论中起到了很重要的应用。尤其是在近几年,学者们将小波方法应用到密度估计问题都要用到此不等式。因此,将该不等式推广到了非独立随机变量上引起了学者的关注,得到了各种样本下的Rosenthal型不等式。文献[2-3]用不同的方法证明了该不等式对于负相协随机变量也成立。文献[4]将不等式推广到了一类弱相关随机样本上。文献[5] 证明了不等式对于几乎近似负相协变量成立。

由于负相依随机变量在可靠性理论、渗透理论和某些多元统计分析问题中有广泛的应用,因而关于该样本的相关问题也引起了一批学者的关注。基于上述研究结果,本文将考虑一类负相依随机样本是否有类似的不等式成立?

1 定义及引理

下面给出负相依随机变量的定义及相关的引理。

文献[7-9]对ND随机变量的性质作了进一步研究。文献[10-11]讨论了ND样本的指数不等式。文献[12] 在重新定义期望后，证明了新期望下ND样本的Rosenthal不等式。本文将给出一般期望下ND样本Rosenthal不等式的证明,该不等式的证明将为估计ND样本密度提供理论基础。

引理1[9]设X1,X2,…,Xn是ND随机变量, 任给集合{1,2,…,n}的m个两两不相交的子集A1,A2,…,Am以及m个关于每个变元单调非降 (非增)函数f1,f2,…,fm，则随机变量f1(Xi,i∈A1),f2(Xj,j∈A2),…,fm(Xk,k∈Am)

仍然是ND的。进一步, 若任给实数ti≥0(ti≤0),1≤i≤n,有

引理2[9]设X,Y是ND随机变量, 则E(XY)≤(EX)(EY)。……