◆陈曼

基于蒙哥马利域的ECC算法的优化

◆陈曼

（山东大学数学学院 山东 250013）

由于现代社会通讯技术的发展，使得消息的传递更加方便，但同时伴随着消息被窃听，泄露，篡改的危险。为了安全的传递消息，许多加密算法随即被提出。本文主要讨论基于离散对数问题的椭圆曲线加密方案，通过结合几何与代数的思想来讨论椭圆曲线的运算规律，提出基于蒙哥马利域设计运行椭圆曲线加密解密程序，其相对于一般数域程序结果大概快了10倍。

椭圆曲线；蒙哥马利算法；加密算法

1 引言

为了解决上述难题，Neal Koblitz 和Victor Miller 两人在1985年分别独立地提出了椭圆曲线加密算法。椭圆曲线加密方案相比于RSA加密算法，它运用了较高深的数学知识——椭圆曲线离散对数问题，这能够减少对密钥长度的要求，即椭圆曲线安全传输消息允许使用较短长度的密钥。椭圆曲线密码由于使用更短长度的密钥，具有更小存储容量，更慢带宽的优势，能够广泛应用在线上支付，手机智能卡，无线传递信息。经过几十年的发展，椭圆曲线加密算法被各大国际组织机构广泛的使用，许多国际组织如ANSI、IEEE、ISO将椭圆曲线标准化。到目前为止，椭圆曲线数字签名机制ECDSA已成为经济贸易传输信息的加密标准。因此，针对椭圆曲线密码研究有效的优化算法，具有重要的实际用处和发展前景。

2 椭圆曲线密码储备知识

2.1 基本概念

称为点乘运算，或为标量积。

2.2 椭圆曲线

设椭圆曲线是如下方程

可以推出椭圆曲线是齐次方程，且满足