于春肖，井丁卉，杨艳芳

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

0 引言

在工程领域中，很多问题最终都可归结为求解大型线性方程组。由Sadd提出的GMRES(m)算法是求解大型线性方程组最有效的方法之一，被广泛应用到工程领域[1-4]。随着GMRES(m)算法的广泛应用，为加快GMRES(m)算法的收敛速度，很多学者对该算法进行优化与改进，一种方法是采用预处理技术[5-7]，通过加权技术，即WGMRES(m)算法来加快算法的收敛性。孙蕾等利用残量多项式预处理方法，建立右端多项式预处理GMRES(m)算法[8];于春肖等通过深入探讨算法的收敛性与方程组系数矩阵的密切关系[9],提出一种预条件广义极小残余新算法；杨圣炜等通过引用加权技术，提出了加权SGMRES算法(WSGMRES算法)[10]；在此基础上，仲红秀等利用加权策略和分析基底条件数，对块simple GMRES方法进行了改进，提出加权simple GMRES算法[11]；Yu等通过改变m的取值来加快收敛，进而提出VRP-GMRES(m)算法[12-13]；郝雪景等利用截断技术，基于不完全正交的Arnoldi过程提出截断型变参数广义极小残余算法(VRP-IGMRES(m))[14]。本文利用截断技术[15-16]，提出一种不完全正交的WIGMRES(m)算法，并结合数值算例，分析该算法的高效性。

1 WGMRES(m)算法

加权Arnoldi过程：

1)取v1=r0/‖r0‖D；

结合GMRES(m)算法和加权Arnoldi过程，WGMRES(m)算法计算步骤如下：

1)选取x0∈Rn，m∈N+(m

5)若‖rm‖=‖r0-Azm‖<ε，则x=xm，迭代停止，否则x0=xm，转向步骤2)。

2 WIGMRES(m)算法

当m很大时，考虑到在构造krylov子空间的基向量和Hessenberg矩阵时要用到长递推公式，导致算法计算量和存储量过大，因此在WGMRES(m)算法的基础上进行改进，提出一种新型截断型算法，即WIGMRES(m)算法，该算法仅对Avj前面的至多q个向量进行正交，vj0,…,vj，j0=max{1,j-q-1}正交，其中q

1)选取x0∈Rn，m∈N+(m

(1)

4)求解最小二乘问题

(2)

得ym，其中e1=(1,0,…,0)T∈Rm+1；……