程毛林,刘 斌

(苏州科技大学 a.统计系;b.金融系,江苏 苏州 215009)

一、引 言

灰色预测在教育、地质、经济、农业、管理等众多领域得到了广泛的应用。常用的灰色预测模型有GM(1,1)模型、GM(1,1)幂模型、GM(1,N)模型等。在这些灰色预测模型中,GM(1,1)幂模型是一类重要类型,由于它对原始数据的适应能力强,所以有广泛应用。许多学者对GM(1,1)幂模型作了各种研究,这些研究不同程度地提高了精度。曾亮提出了GM(1,1|sin)幂模型[1];丁松等人针对GM(1,1)幂模型幂指数和初始条件优化问题,提出了一种基于初始条件和幂指数协同优化的方法[2];黄跃华等人提出基于正弦和的GM(1,1)幂模型[3];丁松、杨保华等人建立了离散灰色幂模型[4-5];胡攀、王丰效提出了改进的GM(1,1)幂模型[6-7];李龙、李军亮等人提出了非等间隔GM(1,1)幂模型[8-9];李树峰、陈鹏宇建立无偏GM(1,1)幂模型[10];王正新等人对GM(1,1)幂模型中的幂指数给出了一种新颖的估计方法,还提出一种具有时变参数变化的GM(1,1)幂模型[11-12]。本文试图从模型的结构上进行改进,提出了拓展的灰色GM(1,1)幂模型,并给出了模型的参数估计方法和模型的时间响应方程,最后,由给出的模型和方法分别建立了中国能源消费量和城镇居民消费水平的拓展灰色GM(1,1)幂模型,结果表明,提出的模型精度很高。本文提出的拓展的灰色GM(1,1)幂模型,是对传统灰色GM(1,1)幂模型的结构拓展,从模型的结构可以看出传统灰色GM(1,1)幂模型是拓展模型的特例,所以它的精度,尤其模型的模拟精度明显好于传统GM(1,1)幂模型,优于传统GM(1,1)模型。由于拓展模型采用优化方法,即对幂指数优化,所以模型对数据的适应性比传统GM(1,1)模型和传统GM(1,1)幂模型更好,模型的适用范围更广,大部分增长序列都可由提出的方法建模预测,可获得较高的精度。

二、传统灰色GM(1,1)幂模型的建立方法

其中

幂指数α的估计一般由优化方法得到。把a,b,α代入下面时间响应函数序列:

三、拓展的灰色GM(1,1)幂模型及其参数优化方法

(一)拓展的灰色GM(1,1,t,α)幂模型

特别地,p=0时上式为传统GM(1,1)幂模型的白化方程。当p=1时,称

即拓展模型的时间响应方程为:

将GM(1,1,t,α)幂模型的白化方程写成:

上式两边在区间[k-1,k]上积分得:

显然

即z(1)(k)=wkx(1)(k-1)+(1-wk)x(1)(k),(0≤wk≤1)

z(2)(k)=wk(x(1)(k-1))α+(1-wk)(x(1)(k))α,(0≤wk≤1)

z(3)(k)=wk×(k-1)×(x(1)(k-1))α+(1-wk)×k×(x(1)(k))α,(0≤wk≤1)

一般取wk=0.5有x(0)(k)=-az(1)(k)+b0z(2)(k)+b1z(3)(k)+ε(k),其中ε(k)为wk=0.5时产生的误差。对给定的α,由最小二乘法得到:

其中

事实上,α需要求出,可以用优化的方法确定。

(二)拓展的灰色GM(1,1,t2,α)幂模型

当p=2时,称

即时间响应方程为:

其中,

将GM(1,1,t2,α)幂模型的白化方程写成:

对上式两边在区间[k-1,k]上积分得:

记

显然

即z(1)(k)=wkx(1)(k-1)+(1-wk)x(1)(k),(0≤wk≤1)

z(2)(k)=wk(x(1)(k-1))α+(1-wk)(x(1)(k))α,(0≤wk≤1)

z(3)(k)=wk×(k-1)×(x(1)(k-1))α+(1-wk)×k×(x(1)(k))α,(0≤wk≤1)

z(4)(k)=wk×(k-1)2×(x(1)(k-1))α+(1-wk)×k2×(x(1)(k))α,(0≤wk≤1)

一般取wk=0.5有x(0)(k)=-az(1)(k)+b0z(2)(k)+b1z(3)(k)+b2z(4)(k)+ε(k),其中ε(k)为wk=0.5时产生的误差。对给定的α,由最小二乘法得到:

其中

事实上,α需要求出,可以用优化的方法确定。

四、应用实例

(一)中国能源消费量灰色建模

未来能源消费趋势是大家关心的问题,因此建立中国能源消费量预测模型有着重要意义,本文对中国能源消费量x(0)(t)(万吨标准煤)建立预测模型,数据见表1和表2。

表1 中国能源消费量灰色建模模拟值有关计算结果

表2 中国能源消费量灰色建模预测值有关计算结果

对x(0)(t)建立常用的灰色GM(1,1)模型,得a=-0.041 398,b=284 492.77,这样时间响应方程为:

若建立提出的拓展的灰色GM(1,1,t,α)幂模型,即建立模型为:

按照提出的方法,计算得到参数估计值:(a,b0,b1,α)=(0.051 75,3 319 791.30,1 448 618.73,-0.224 04),

这样得时间响应方程为:

={e-0.063 34(t-1)[4 275 137.91+1.148 92h(t)]}0.816 96

其中,

=22 870 240.85te0.063 340 8t-308 655 051.9e0.063 340 8t+304 472 232.2

按照提出的方法,计算得到参数估计值:

(a,b0,b1,b2,α)=(0.102 76,2 457 783 740.0,5 303 652 519.0,1 391 052 146.0,-0.824 07)

这样得时间响应方程为:

={e-0.187 444 15(t-1)[7 611 375 128.0+1.512 29g(t)]}0.548 22

其中,

=7 421 155 384.0t2e0.187 44t-50 888 002 466.0te0.187 44t+284 595 634 832.0e0.187 44t-290 840 593 216.0

表3 由文献[13]和文献[14]中方法计算的中国能源消费灰色建模模拟值有关结果

表4 由文献[13]和文献[14]中方法计算的中国能源消费灰色建模预测值有关结果

为了与其他学者提出的灰色GM(1,1)幂模型改进方法的建模精度比较,这里进行了计算。若按张思俊和陈淑燕提出的灰色GM(1,1)幂模型改进方法建模,得到参数估计值[13]:

(a,b,α)=(0.007 283 38,13 559.64,0.232 59)

这样时间响应方程为:

=(1 861 722.993-1 847 360.4e-0.005 589 308 981(k-1))1.303 09

(a,b,α)=(0.012 376,10 669.89,0.251 04)

这样时间响应方程为:

(二)中国城镇居民消费水平的灰色建模

这里对中国城镇居民消费水平(单位:元)按照提出的方法建立灰色模型,数据来源于《中国统计年鉴》,具体数值见表5和表6。

表5 中国城镇居民消费水平的灰色建模模拟值有关计算结果

对x(0)(t)建立传统GM(1,1)模型,得到:a=-0.095 92,b=9 835.94。这样时间响应方程为:

(a,b,α)=(-0.075 744 71,2 426.153 0,0.141 364)

这样得到时间响应方程为:

表6 中国城镇居民消费水平的灰色建模预测值有关计算结果

若建立提出的拓展的灰色GM(1,1,t2,α)幂模型,即建立下面模型:

按照提出的方法,计算得到参数估计值:

(a,b0,b1,b2,α)=(1.661 5,205.676 3,50.889 0,-0.002 8,0.502 9)

这样得到时间响应方程为:

={e-0.826 011(t-1)[95.628 4+0.217 6g(t)]}2.011 5

其中,

=-0.003 4t2e0.826 0t+61.616 3te0.826 0t+174.404 3e0.826 0t-401.149 0

五、结 论

传统的灰色GM(1,1)幂模型对很多增长型的时间序列数据有较好的适应性,在预测上得到广泛的应用,其原因是通过幂指数的优化使模型精度得到较大提高。若改进模型结构,就能使模型预测精度提高。为此,提出了拓展的灰色GM(1,1)幂模型,并给出了两个具体的模型形式,即拓展的灰色GM(1,1,t,α)幂模型和拓展的灰色GM(1,1,t2,α)幂模型。通过最优化方法,分别给出了这两个拓展幂模型的幂指数α的求法,进而对这两个具体形式的拓展幂模型给出了参数估计方法和用于预测的时间响应方程。按照提出的方法,建立了中国能源消费量的灰色幂模型,结果显示所建模型其精度明显优于GM(1,1)模型以及张思俊、马永梅等人提出的模型,本文所建的GM(1,1,t,α)幂模型的平均整体相对误差仅为1.49%,GM(1,1,t2,α)幂模型的平均整体相对误差仅为1.45%,两个模型的平均整体相对误差均小于1.5%,可见误差很小。另外,建立了中国城镇居民消费水平的灰色模型,结果显示所建模型其精度明显优于GM(1,1)模型以及GM(1,1)幂模型,本文的GM(1,1,t2,α)幂模型的平均整体相对误差仅为1.47%,小于1.5%,可见精度很高。这说明了提出的方法具有很高的科学性和可靠性,对灰色GM(1,1)幂模型的深入研究与广泛应用具有重要意义。