钱 焱，陈贵云

西南大学 数学与统计学院，重庆 400715

有限群的结构一直是群论研究中一个最基本的课题，而群的性质与结构都能从它的固有数量反映出来，例如：奇数阶群可解； 若G的Sylow子群的个数之集为{1}，则G为幂零群.

因此，通过子群的数量特征来研究群G的结构是极其有意义的．比如，许多群论学者研究了子群共轭类的类数、 非正规子群的个数及阶、 极大交换子群的阶之集，以及当同阶子群个数之集为简单集合时对群结构的影响，有关这方面的成果可参见文献[1-12].

本文关注同阶交换子群个数与群结构的关系，并讨论了当群G的同阶交换子群个数之集为{1，3}时群G的结构．当然这类群是存在的，如S3就满足此条件．另外，本文也证明了同阶交换子群个数之集为{1，2}的有限群是不存在的．因此，研究满足同阶交换子群个数之集为{1，3}的群G的结构是有意义的.

本文将证明如下定理：

定理1设G是有限群，则下列结论成立：

(a) 不存在有限群G，使得其同阶交换子群个数之集为{1，2}.

(b)G的同阶交换子群个数之集为{1，3}的充要条件是G同构于下列群之一：

(b1)G=〈u〉×(〈b〉×|〈a〉)，其中uk=1，a2m=1，b3=1，a-1ba=b-1，2⫮k，3⫮k；

(b2)G=〈v〉×Q8，其中2⫮o(v)，Q8为四元数群；

(b3)G=〈w〉×G2，其中2⫮o(w)，G2为(2n-1，2)-型交换群；

(b4)G=〈d〉×G2，其中2⫮o(d)，G2为半广义四元数群，且G2=〈e，f〉，e2n-1=1，f2=1，f-1ef=e1+2n-2，n≥4.

由文献[11]的定理4.3得：若G的同阶子群个数之集为{1，3}，则G只可能同构于以上(b1)-(b4)群之一．因此得到下面的推论：

推论1设G为有限群，则下列结论等价：

为了证明定理1，先引入以下引理：

引理1[12]设P是一个包含唯一p阶子群的p-群，那么或者P是循环群，或者p=2且P是广义四元数群.

引理2[13]设|P|=pn，1

引理3设p∈(G)，P∈Sylp(G)，且……