张锐浩， 张 帆， 庄彦帅， 张玉辉， 王 锋

(上海工程技术大学 机械与汽车工程学院， 上海 201620)

0 引 言

折纸是一种古老的艺术形式，折纸的命名源自日语词根“ori”和“gami”组合，意思是折叠和纸张,其可以实现不经裁剪和粘接，使二维平面的纸张折叠成三维立体模型[1]。它的运动是连续的且一一对应的二维到三维的映射。折纸可分为刚性折纸和非刚性折纸，假设在折叠过程中，刚性折纸面始终为刚性平面(通常视为连杆)，将折痕视为转轴，则刚性折纸板折叠过程中不发生扭转变形等情况。因此，仅由相邻折叠面的夹角即可决定折纸构型。非刚性折纸则不具有这一假设，认为可以在折纸面内发生扭转、弯曲等变形，可产生形变。由于刚性折纸具有结构巧妙、易于折叠等优点，越来越受到工程师们的关注。例如航天工程中的太阳能阵列[2-3], 在日常生活领域有可折叠餐具[4], 直升机[5]等。为了探索折纸的原理，从而使折纸结构发展出更多的结构，越来越多的学者用数学来揭示其中的原理。

在折纸运动学的研究中，Kawasaki’s提出了单顶点可以平折时夹角之间的基本理论，Maekawa’s提出了山谷折痕分布理论，这两个基本理论成为折纸的基本定理。数值算法[6]、四元数法和矩阵法[7]等被用来分析刚性折纸的可折叠性。Hull[8]研究了单顶点折纸折痕图案能够刚性折叠的一个内在充要条件，为刚性折纸图案拓扑和应用分析奠定了基础。BERRY M等[9]在非欧几里德空间，提出运动高斯曲率的方法研究折纸运动空间。……