冯子旭， 何维清， 张世全

(四川大学数学学院， 成都， 610064)

1 引 言

玻色-爱因斯坦凝聚态(BEC)[1]是由微观粒子的量子特性引起的宏观现象[2-5].在最近的物理实验中，物理学家把不同组分的BEC混合在一起，使这些BEC 结合在一起形成量子液滴(液滴态).液滴态[6]可以用波函数描述，满足如下的对数Gross-Pitaevskii方程(LogGPE)：

(1)

这里x是空间变量，t是时间变量，Ω>0是角速度，β,σ是刻画粒子间相互作用类型的参数，角动量算子Lz和势函数V(x)定义如下：

Lz=-i(x∂y-y∂x),

这里的d代表空间维度.

对于该对数非线性薛定谔方程，在实际应用中我们主要关心其基态解和动力学演化，本文的研究目标就是构造该方程基态解的数值解法.另一方面，对于经典的非线性薛定谔方程基态解的研究已有丰富结果，如,对数非线性薛定谔方程(LogSE)基态解的存在性可以参考文献[7].

在非线性薛定谔方程基态解的计算方面，Edwards和Burnett[8]用Runge-Kutta方法求解了一维和三维球对称基态解；Chiofalo 等[9]类比动力学计算方法提出了虚拟时间演化法；Bao和Tang[10]提出利用有限元法直接极小化带质量约束的能量泛函，进而得到基态解；Bao[11-13]等结合梯度流和单位球投影方法提出了归一化梯度流方法，并构造了向后欧拉差分和向后欧拉谱方法，在适当初值下有效计算了基态和激发态.值得注意的是，这些方法都是针对非对数非线性薛定谔方程的.众所周知，由于对数非线性项的奇异性，这些方法并不能直接应用到对数非线性薛定谔方程基态解的计算.本文将基于正则化能量泛函和……