张 辉,方晓峰

(火箭军工程大学 基础部，陕西 西安 710025)

0 引言

导数的应用[1]125-180是一元函数微分学的重要内容和难点知识，而利用函数导数的正负判定函数的单调性进而判定两个数的大小关系是一个常见的问题。在我校2020年秋季学期高等数学(上册)的期终考试中，就出现了一道判定两个正幂指数的大小问题，具体为:若0

1 5种解法

一般情形下，判定两个正数的大小关系的方法有两种，一种是研究这两个正数之差与0之间的大小关系，一种是研究这两个正数之比与1之间的大小关系。在此过程中常常需要构造辅助函数利用函数的单调性来判定两个函数值的大小关系。对于此问题，可以首先构造辅助函数f(x)=xa-ax，a≤x≤b，则有f(a)=0，f(x)在闭区间[a,b]上连续，且当a

解法1当a=1时，显然有ab=1=a

通过上述分析可以发现，即使是同一个解题思路和方法，构造不同的辅助函数也导致求解过程和计算工作量大大不同。因此，需要同学们在求解问题中,一般构造便捷有效的辅助函数来求解问题，达到事半功倍的效果。

事实上，此类问题是判定两个正幂指数的大小关系，对于幂指数往往可以通过取对数进行变形简化研究，因此也可以采用解法2来求解。

解法2因为对数函数lnx为严格单调递增函数，所以比较ab和ba的大小关系就等价于比较lnab和lnba的大小关系，即比较blna和alnb的大小关系。现考虑alnb-blna与0的大小关系。

从上述求解过程可以看出，此种方法不需要证明函数a-xlna在开区间(a,b)内取值大于0这个重要结论，也就是说比第一种方法简单一些，因此推荐此解法的第二种方法。……