刘海峰，李雪莹

(上海海洋大学 信息学院，上海 201306)

线性代数是大学理工科各专业的一门数学基础课，也是全国硕士研究生入学考试中数学(一)、数学(二)和数学(三)试题中必考的内容，其重要性不言而喻。同时，线性代数因其概念的抽象一直是本科生普遍认为比较难学的一门课[1]。怎样才能学好线性代数呢？童增祥教授在文献[2]中强调，大学生“要学好数学，必须做大量的题目”，遇到困难要“多思考，寻求一种或多种解题方法”。文献[3]也指出一题多解是线性代数教学中培养学生创新思维的途径。本文以一道考研题目为例，从不同的观察角度出发，利用线性代数不同部分的知识给出4种解法，希望能给学习线性代数的同学一点启发。

2020年全国硕士研究生入学考试数学(一)试卷的第13题(同时是数学(二)的第14题，数学(三)的第13题)如例1所示。

首先想到的解法就是将行列式按某行(或某列)展开[4]74，而在此之前往往要对行列式作一些初等变换。

解法1降阶法，即按行列式的某一列(或行)展开。

先做行变换。将第4行加至第3行，第4行的-a倍加至第1行，然后按行列式的第1列展开，得

(1)

将式(1)中三阶行列式的第1行减去第2行，并按第1列展开，可得

所以，行列式的值是a×(-2a-a×(2-a2))=a4-4a2。

以上是最直接的做法。然而注意到该行列式的特殊性，还可以得到下面的几种巧妙的解法。这些求解办法体现了行列式与有关概念之间的深刻联系。

解法2利用行列式的定义及偶函数的性质。

由行列式的原初定义不难得知该行列式为a的4次多项式，且首项的系数为1。……