侯汝臣

(烟台大学数学与信息科学学院,山东 烟台 264005)

1 引言及准备工作

“表示理论是代数学中具有根本性的问题,是当前国际上数学研究的前沿重点课题,在数学的其他分支,量子物理学以及化学等其他学科中有深刻而广泛的应用”[1]。 “群对称是数学的灵魂,而研究群对称的基本工具是群表示论”[2]。 1980 年,MCKAY引入了McKay 箭图的概念[3],它揭示了有限单群的表示和李代数、Klein 奇点等数学领域的联系,这就是经典的McKay 对应[4]。 在代数表示论中,McKay 箭图在研究 Cohen Macaulay 模的 Auslander Reiten 箭图,温驯型遗传代数的预投射代数,箭图簇,以及复杂度为2的自内射Koszul代数等多个方面起到重要作用[5-12]。

设G⊂GL(m,)=GL(V)是一个有限子群，这里V表示上的一个m维向量空间。 设 {Si|i=1,2,…,n}是G在上不可约表示的完全集。 对每一Si,将G的张量积表示V⊗Si分解为G的不可约表示的直和:群G的McKay 箭图Q=Q(G) 定义为:顶点集Q0是G在上不可约表示同构类下标的集合,从顶点i到顶点j有ai,j条箭向。 特别地,顶点i到i的箭向称为环。

一般情况下,计算McKay箭图比较困难[13]。 郭晋云利用代数表示论中的方法,即在文献[14]中利用文献[15]中外代数的斜群代数的箭图即为群的McKay箭图的方法,对有限循环群的McKay箭图进行了一般概括性刻画。 而因为有限循环群作为一般线性群GL(m,) 的子群的矩阵表现形式多样,相应的群-表示m分解为群-的不可约表示的直和的分解形式也不相同,这就使得群的McKay箭图也在变化。 关于群的不可约表示,可参阅文献[16-17]。 一般线性群GL(m,) 的其他有限子群的McKay箭图也有类似的情况。 为了研究这种现象,本文在第2节定理2 中利用群表示论中的方法精确刻画了有限循环群 的所有各类McKay 箭图。……