栗嘉慧, 何 勇, 邓香香, 肖 维

(新疆师范大学 数学科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830017)

0 引言

微分几何的核心是关于流形上黎曼度量的研究，即黎曼几何[1].Levi-Civita意义下的平行性是研究黎曼几何性质的重要概念，最早由Levi-Civita于1917年在讨论三维欧氏空间中的曲面时提出.1918年，Weyl[2]受其中所蕴含几何思想的启发，引入了不依赖于任何一个黎曼度量的一般联络的概念，并用它阐释了Levi-Civita平行移动，给出了Levi-Civita联络一个恰当的表示形式.近年来，许多学者对Levi-Civita平行移动进行了相关研究，Ruta[3]和Iurato[4]讨论了分析力学的虚功原理在推导Levi-Civita平行移动概念中所起的关键性作用.2016年，Casey[5]构造了一种特殊标架，即Levi-Civita标架，并给出了可展曲面上的相关结论.联络是对流形上向量场进行“微分”的一种手段，而Levi-Civita平行性正是切丛上的联络[6]，因此，理解Levi-Civita平行移动这一概念尤为重要.本文旨在通过三个方面阐释Levi-Civita平行移动的内涵，从而帮助初学者更好地学习和理解这一概念，即采用直观的向量投影的方法分析向量的Levi-Civita平行移动；利用平移同构探析Levi-Civita平行移动与联络的内在关系；对比Levi-Civita平行移动与欧氏平移基本性质的异同.

1 Levi-Civita平行移动的概念

1.1 二维曲面上向量Levi-Civita平行移动的概念

平面上向量沿直线平移具有两个重要特征,其一是该向量的微分为0;其二是该向量与直线所成夹角在平移过程中不发生改变.在古典微分几何中,对于二维曲面,若将其上向量v从点Q沿曲面上一曲线按上述平移移动至邻近点Q′,则v一般不再是曲……