进入九年级，方程家族再添一员——一元二次方程。回顾一元一次方程、二（三）元一次方程（组）、可化为一元一次方程的分式方程等知识的探究过程，我们发现，方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，其研究路径一般是“概念—解法—应用”。本章主要是从一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数的关系和应用等方面来研究，对数学后续的学习和其他学科的学习也有着重要意义，让我们一起来厘清要点，逐个击破吧。

知识点1：一元二次方程的概念

一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2。一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，特别要注意二次项系数a不为0。

例1 （2021·湖北荆门）x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2-2）x+2k+4=0的一个根，那么k的值为 。

【分析】本题根据一元二次方程及其解的概念列出关于k的方程，再解这个方程求得k的值即可（特别注意二次项系数不为0）。

【解答】把x=2代入kx2+（k2-2）x+2k+4=0，得4k+2k2-4+2k+4=0，整理，得k2+3k=0，解得k1=0，k2=-3。因为k≠0，所以k的值为-3。故答案为-3。

知识点2：一元二次方程的解法

一元二次方程的解法主要包括：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等。解决问题的基本策略就是降次，利用转化的思想方法，通过直接开平方、配方、因式分解等，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解。解一元二次方程主要有四种基本方法，我们要根据方程的特点灵活选用，以简化解题过程。下面我们一起通过实践来观察几种解法的相互联系和差别。

例2 解方程：

（1）（2021·江苏无锡）（x+1）2-4=0;

（2）（x-2）2=（2x+5）2;

（3）x2-4x-3=0;

（4）（2021·黑龙江齐齐哈尔）x（x-7）=

8（7-x）。

【分析】先观察这几个方程的结构：（1）（2）两题我们可以用直接开平方法，或选择因式分解法（平方差公式）来求解，这两种方法是首选方法;（3）可以用配方法或公式法求解;（4）的等号两边有（x-7）和（7-x）这个互为相反数的因式，可以用因式分解法（提取公因式）来求解，同样也可以化成一般式后再用合适的方法求解。

【解答】（1）（直接开平方法）移项，得（x+1）2=4。两边直接开平方，得x+1=±2，解得x1=1，x2=-3。

（因式分解法）利用平方差公式，得（x+1+2）（x+1-2）=0，解得x1=1，x2=-3。

（2）这题与（1）利用相同的方法可以解得x1=-1，x2=-7。

（3）（配方法）移项，得x2-4x=3。配方，得x2-4x+22=3+22，即（x-2）2=7。解这个方程，得x-2=±7，即x1=2+[7]，x2=2-[7]。

（公式法）因为a=1，b=-4，c=-3，

所以b2-4ac=（-4）2-4×1×（-3）=28>0，

代入公式x=[-b±b2-4ac2a]

=[-（-4）±282×1]

=[4±272]

=2±[7]，

所以x1=2+[7]，x2=2-[7]。

（如果这题改为x2-4x+3=0，还能用因式分解法，同学们可以试一下哦！）

（4）（因式分解法）移项，得x（x-7）-8（7-x）=0。提公因式，得（x-7）（x+8）=0，解得x1=7，x2=-8。

知识点3：一元二次方程的根的判别式

根的判别式是b2-4ac，我们通过它的符号来判断ax2+bx+c=0（a≠0）是否有实数根或者有几个实数根，具体方法如下：（1）当b2-4ac>0时，方程有兩个不相等的实数根;（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根;（3）当b2-4ac<0时，方程没有实数根。反之也成立。

例3 （2021·湖北黄冈）若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是 。（写出一个即可）

【分析】由“方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根”可知：当b2-4ac>0时，此方程有两个不相等的实数根。因为b2-4ac=（-2）2-4×1×m=4-4m>0，得m<1，所以只要写出一个满足m<1的m的值即可。

【答案】比如0或-1等。

知识点4：一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系是著名的韦达定理，虽然在教材里它是选学内容，但这部分内容可以帮我们进一步加深对一元二次方程及其根的认识，它的应用非常广泛。先简单了解下这个定理：若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1、x2，那么有x1+x2=[-ba]，x1·x2=[ca]。

例4 （2021·江苏盐城）设x1、x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1+x2的值为（ ）。

A.-2 B.-3 C.2 D.3

【分析】解决此类问题我们可以不求出方程的根，观察得出a=1，b=-2，c=-3，由韦达定理可知x1+x2=[-ba]=[--21]=2。故选C。

知识点5：用一元二次方程解决实际问题

利用一元二次方程解决实际问题，就是要把实际问题转化为数学问题，难点是数量关系的确定。我们可以借助适当的数学直观工具（如表格、线形示意图等），找出问题中的各种量的相等关系，建立数学模型（一元二次方程），解决实际问题。此外，还需要根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

例5 在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动。设运动时间为t秒（t>0）。

（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）;

（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？

（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值;若不存在，请说明理由。

【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，表示出BQ、PB的长度是解题的关键。

（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度;

（2）根据勾股定理可得PB2+BQ2=QP2，代入相应数据解方程即可;

（3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长，即可得到方程，解方程即可。

【解答】（1）∵P從点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，∴AP=t（cm）。

∵AB=5（cm），∴PB=（5-t）cm。

∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，

∴BQ=2t（cm）。

（2）由题意得（5-t）2+（2t）2=52，

解得t1=0（不合题意，舍去），t2=2。

∴当t=2秒时，PQ的长度等于5cm。

（3）当t=1秒时，五边形APQCD的面积等于26cm2。理由如下：

长方形ABCD的面积是5×6=30（cm2），

要使得五边形APQCD的面积等于26cm2，

则△PBQ的面积为30-26=4（cm2），

∴[12]×（5-t）×2t=4，

解得t1=4（不合题意，舍去），t2=1。

∴当t=1秒时，五边形APQCD的面积等于26cm2。

（作者单位：江苏省无锡市新吴区泰伯实验中学）