李雅玲，陈梅香，杨忠鹏，潘 磊

(1.莆田学院数学与金融学院，福建 莆田 351100；2.福建师范大学数学与统计学院，福建 福州 350117)

0 引 言

若存在可逆矩阵C满足B=CTAC，则称A、B∈n×n是合同的.在线性代数理论中，满足AT=A或AT=-A的矩阵A的合同矩阵的性质，已有很多成熟的结论.但从定义出发讨论非对称、非反对称矩阵的合同问题是近几年才开始的[1-4].

引理1([1]或[3，引理1]) 设A、B∈n×n，则A与B合同当且仅当存在可逆矩阵P使得PTAsP=Bs，PTAwP=Bw.

引理1简单且对研究矩阵合同具有指向意义，但真正深入到具有明确结构的矩阵合同的充要条件的研究，仅依靠这个结果是不够的，目前可见的只有2、3阶矩阵合同的结论[2-4].

命题1([2，定理1]) 设λs>0，1≤s≤4，a、b>0，且

(1)

则A与B合同的充要条件为As与Bs合同，且b2λ1λ2=a2λ3λ4.

命题2([3，定理5]) 设λs>0，1≤s≤6；a、b、c、d、e、f>0，且

(2)

则A与B合同当且仅当存在正交矩阵Q，使得以下两个条件成立：

本文使用A∈4×4的2阶复合矩阵C2(A)与相应的复合伴随矩阵的基本性质，对命题2的证明方法进行改进，得到了具有命题1、2类似矩阵结构的A、B∈4×4合同的充要条件.本文所使用的方法有别于命题1、2的讨论，这样的方法可对更高阶的具有类似结构的矩阵合同的充要条件研究有明确的指向意义.

1 预备知识

由文献[5-7]，约定Qm，n={α=(α(1)，…，α(m))|α(1)<…<α(m)}，1≤m≤n.对α、β∈Qm，n，用detA[α，β]表示由A∈n×n中的第α(1)，…，α(m)行与第β(1)，…，β(m)列元素组成的m阶子式，detA(α，β)=detA[α′，β′]，这里α′、β′分别为α、β∈Qm，n的补序列.Ck(A)是由A的k阶子式detA[α，β]为元素按字典序排列所构成的阶矩阵；由A的k阶子式detA[α，β]的代数余子式detAα， β=(-1)π(α)+π(β)detA(α，β)知，其中由文献[7]知

引理2设A∈n×n为正交矩阵，则有

证明：由文献[6，定理]知，对∀α、β∈Qk，n，有

(detA)(detA[α，β])=(-1)π(α)+π(β)detA[α′，β′]=(-1)π(α)+π(β)detA(α，β)=detAα， β，

由文献[7]知，当A∈n×n为正交矩阵时，Ck(AAT)=Ck(E)=E=Ck(A)(Ck(A))T，因此(Ck(A))-1=(Ck(A))T，即有证毕.

设A=(aij)，B=(bij)∈m×n，称C=(cij)=A∘B∈m×n，cij=aijbij为A与B的Hadamard乘积[8].

引理3设n(≥2)为任意给定正整数，则n=2p+3q+4r总有非负整数解(p，q，r).

证明：当n=2时，有非负整数解(1，0，0).

假设n≤k-1时命题成立，则当n=k=3s或3s+2时，显然有非负整数解(0，s，0)或(1，s，0)成立；当n=k=3s+1时，有k=2s+s+1，而s+1=k-2s≤k-1，由归纳假设知，有非负整数解(p，q，r)使得s+1=2p+3q+4r成立，则k=2(s+p)+3q+4r有非负整数解……