漆发明

动点几何问题是中考的热点题型，解决此类问题的基本策略是：动中取静——在运动变化中探索问题中的不变性（这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系）;动静互化——抓住“静”的瞬间，将一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系;以动制动——建立图形中的数量关系，进而解决问题.下面以特殊四边形动点问题为例进行介绍.

例1（2020·江苏·扬州）如图1，在矩形ABCD中，AB = 4 cm，BC = 11 cm，点P从点D出发向终点A运动，同时点Q从点B出发向终点C运动. 当P，Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P，Q的速度分别为1 cm/s，2 cm/s，连接PQ，AQ，CP. 设点P，Q运动的时间为t（s）.

（1）如图1，当t为何值时，四边形ABQP是矩形？

（2）如图2，若点E为边AD上一点，当AE = 3 cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值;若不能，请说明理由.

[A][P][D][C][Q][B][E] [A][D][B][C]

图1       图2

分析：（1）根据矩形的性质可得AP = BQ，进而列方程，解方程即可得解;（2）根据菱形的性质可得PE = CQ = CP，进而列方程，解方程即可得解.

解：由题意可得DP = t，BQ = 2t，则AP = 11 - t，CQ = 11 - 2t.

（1）若四边形ABQP是矩形，则AP = BQ，

∴11 - t = 2t，解得t = [113]，即当t = [113]时，四边形ABQP是矩形.

（2）由题意得PE = 11 - 3 - t = 8 - t，CQ = 11 - 2t，CP2 = CD2 + DP2 = 16 + t2，

若四边形EQCP为菱形，则PE = CQ = CP，

∴（8 - t）2 =  （11 - 2t）2 = t2  + 16，解得t = 3，

∴当t = 3时，四边形EQCP为菱形.

点评：解题关键是由动转化为静，根据矩形、菱形的性质，构造方程求解.

例2（2020·四川·乐山）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点.

（1）如图3，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是     .

（2）当点P运动到如图4所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立.

（3）如图5，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF = 30°时，试探究……