陈希

一元二次方程是初中数学的重点，也是中考的必考点. 下面举例介绍中考里与一元二次方程有关的新题型，供同学们学习时借鉴.

考点1：立足新定义，判断方程根的情形

例1 （2020·河南）定义运算：[m☆n=mn2-mn-1]. 例如：[4☆2=] [4×22-4×2-1=7]. 则方程[1☆x=0]的根的情况为（ ）.

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根

C. 无实数根 D. 只有一个实数根

分析：根据新定义，把新定义条件下的方程化成一元二次方程的一般形式，然后计算根的判别式，根据结果的属性判断即可.

解析：∵[m☆n=mn2-mn-1]，∴[1☆x=x2-x-1]，∴[x2-x-1=0]，

∵[a=1]，[b=-1]，[c=-1]， ∴[Δ=b2-4ac=]（-1）[2-4×1× ]（-1）[ =5]>[0]，

[∴]原方程有两个不相等的实数根，

故选A.

点评：解此类问题时要掌握如下解题要领：（1）准确理解新定义的运算，将其转化为关于x的一元二次方程;（2）将方程化成一般形式;（3）计算判别式Δ = b2 - 4ac;（4）根据判别式的正负性判断选择.

考点2：立足方程的根，探求字母的范围

例2（2020·贵州·黔西南）已知关于x的一元二次方程（m-1）[x2] + 2x + 1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）.

A. m<2 B. m ≤ 2

C. m<2且m ≠ 1 D. m ≤ 2且m ≠ 1

分析：根据二次项系数非零和根的判别式Δ ≥ 0，构建关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围.

解析：根据题意，得m - 1 ≠ 0，且Δ ≥ 0，∴[m-1≠0，22-4×1×（m-1）≥0，]

解得m ≤ 2且m ≠ 1. 故选D.

点评：解此类问题时要掌握如下解题要领：（1）确定二次项系数的非零性;（2）根据根的个数确定判别式的正负;（3）求解两个不等式;（4）确定解集.

考点3： 判别式和根与系数关系定理的综合

例3（2020·四川·南充）已知x1，x2是一元二次方程[x2] - 2x + k + 2 = 0的两个实数根.

（1）求k的取值范围.

（2）是否存在实数k，使得等式[1x1+1x2] = k - 2成立？如果存在，请求出k的值;如果不存在，请说明理由.

分析：第（1）问利用根的判别式计算即可;第（2）问需……