相互作用玻色气体的截断近似格林函数

2021-09-24郑菡蕾

沈阳化工大学学报 2021年2期

郑菡蕾

(沈阳化工大学理学院，辽宁沈阳 110142)

1924年，印度科学家玻色采用一种不同于经典统计方法推导出了普朗克黑体辐射公式[1]，他的处理光子(粒子数不守恒)统计的方法被爱因斯坦推广到原子(粒子数守恒)的情况，得到“玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)”的预言[2-3]，即对于没有相互作用的玻色原子气体，当温度低于某个临界值时，将有部分有限份额(宏观)的粒子开始占据能量最低的单粒子态，即在动量空间上发生了凝聚.

这一理论以理想玻色气体为研究对象，而实际的玻色原子之间存在着相互作用.为了研究相互作用玻色气体的基本性质，物理学家采用了多种理论与计算方法，如微扰论展开、重正化群等方法，广泛研究了相互作用势对凝聚温度和凝聚比例的影响，同时研究了凝聚比例与凝聚温度的关系等问题，并取得了一些重要的结果，这些计算方法一般比较复杂.本文尝试在Bogoliubov近似的基础上，利用截断近似的格林函数方法研究相互作用玻色气体的凝聚比例和凝聚温度与相互作用强度的关系.截断近似方法形式简单，能够计算较强相互作用的情况，不失为研究玻色气体的一个工具.

1 相互作用玻色气体

根据玻色-爱因斯坦统计[1-7]，理想玻色气体系统的总粒子数[4-7]为

(1)

(2)

其中n=N/V为平均粒子数密度(体积V中包含N个玻色子).在温度低于Tc时，处于凝聚态的粒子数在总粒子数中所占的比例(简称凝聚比例)为[8]

(3)

实际玻色气体通常是有相互作用的，可以想象相互作用强度对凝聚温度和凝聚比例是有影响的.这也是相互作用玻色气体研究的核心问题之一.

2 相互作用玻色气体的Bogoliubov近似

采用二次量子化表象，N个自旋为0的玻色子系统的哈密顿量为

(4)

(5)

3 计算与讨论

3.1 格林函数的计算与截断

本文研究的是相互作用玻色系统，粒子通过二体相互作用在凝聚态(零动量)和非凝聚态(非零动量态)之间跳转，虽然粒子总数不守恒，但是粒子数密度守恒.在这样的系统中,用一个产生算符与一个湮灭算符组成正常格林函数，表示粒子数算符；两个产生算符或者两个湮灭算符(配对算符)组成反常格林函数，表示是配对粒子共同“行动”，在凝聚态与非凝聚态之间变化[11-15].

对紫外发散的问题，在高阶格林函数的截断近似中，对其中的相互作用势进行两种近似：第一种是取U(q)=U，这样才能继续格林函数的截断近似，把粒子数算符用其平均值替代或者把配对算符也作替换取为其平均值；第二种是取U(0)=U.

运动方程组写做

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

这样取n=1，则当系统温度在凝聚温度与绝对温度之间变化时，n0的取值在0～1.而T′取值为0时代表系统处于绝对温度；T′取值为1时代表系统温度为凝聚温度.对这个重新标度后的方程取定积分上限：如果取相互作用强度为1，则可以取定能量的积分上限为100.

3.2 数值结果与讨论

取γ=1，数值计算得到n0与T′关系，如图1所示.

图1 温度T′与凝聚比例n0的关系

从图1中可以看到：随着温度的升高，凝聚比例逐渐减小.这种变化趋势是符合物理上的预言的.对计算数据进行拟合，并与公式(3)相比较，拟合公式如下：

n0=0.98-T′0.76.

(11)

所得到凝聚比例n0是与温度T′的0.76次幂成反比，这一结果的精确性值得怀疑，因为计算中采用了多种近似.期待在对计算优化之后，得到更好的更有说服力的结果.

计算绝对零度时，凝聚比例n0与相互作用强度γ之间的关系,结果如图2所示.

图2中相互作用强度的取值范围为0<γ≤17.当相互强度的变化范围在0<γ≤1时，凝聚比例下降得比较剧烈；在相互作用强度超过4时，变化趋于缓和，最后逐渐接近一个常数.这个结果也符合国际上对相互作用玻色气体的凝聚比例随相互作用强度变化的关系趋势，但是依然不够精确.因为在计算中对格林函数进行了一个截断近似，这一近似限制了计算，导致结果趋于一个常数.总体上凝聚比例的变化很小，数值上都大于0.99.这也可能是因为基于Bogoliubov近似，这一近似的基础认为在绝对温度时，大部分的粒子都处于凝聚态，只有非常少的粒子动量不等于0.在后续工作中，可以进一步扩展进更高阶的格林函数，选择更合适的近似进行截断.