刘艳艳

(西藏民族大学 教育学院, 陕西 咸阳 712082)

对任意正整数q≥2及整数h满足(q,h)=1,经典Dedekind和S(h,q)定义为

其中

这个和式揭示了η函数的对数在模变换下的深刻性质[1-2],因而受到数论学者的高度关注, 并研究了它的各种性质,获得了一系列有意义的结果[3-15]。例如,文献[7]得到了S(h,k)的互反定理,即对两个互素的正整数h和q,有恒等式

文献[8]研究了S(h,k)的均值分布, 并证明了如下的渐近公式：

其中ζ(s)是黎曼ζ-函数。

文献[11]研究了如下混合均值的分布性质:

并给出了一些有趣的恒等式，其中二项指数和C(m,n,k,h;q)定义为

且e(y)=e2πiy。文献[11]证明了

文献[12]研究了Dedekind和与一类Kloosterman和混合均值的计算问题，并给出了一个较为精确的渐近公式,即证明了

其中：p为奇素数；φ(n)为Euler函数；ω(n)表示n的不同素因子的个数；A(p)表示区间[1,p]中模p所有原根的集合；C(m,n;p)定义为

本文考虑了Dedekind和与四次高斯和A(m)的混合幂均值问题,其中A(m)=A(m,p)定义为

其中：p是奇素数；m是与p互素的整数。

我们将关注如下形式混合幂均值的计算问题:

(1)

其中：p是素数且满足p≡5 mod 8；k是任意正整数。本文利用初等及解析方法以及经典Gauss和的性质研究了混合均值Ck(p)的计算问题, 并给出了它的一个有趣的四阶线性递推公式，即证明了以下两个结果。

定理1设p为奇素数且满足p≡5 mod 8，则对任意正整数k≥4，有四阶线性递推公式

Ck(p)=(4pα2-9p2)Ck-4(p)+

8pαCk-3(p)-2pCk-2(p),

且它的前四项初值为

C0(p)=0,

定理2设p为奇素数且满足p≡5 mod 8，则对任意正整数k≥4，有四阶线性递推公式

2pC-(k-2)-8pαC-(k-1)(p)],

且它的前四项初值为

C0(p)=0,

由以上定理可推出如下推论。

推论1设p为奇素数且满足p≡5 mod 8,则有

推论2设p为奇素数且满足p≡5 mod 8，则有