一类指数和的加权均值

2021-09-23秦珍珍张天平

陕西师范大学学报(自然科学版) 2021年5期

关键词：利用

秦珍珍，张天平

(陕西师范大学数学与统计学院，陕西西安 710119)

近年来, 很多学者研究了指数函数gx在剩余系中的分布问题, 它不仅是数论研究的重要问题,还可以应用在密码学以及伪随机序列生成器中。

给定素数p,设g满足(g,p)=1且模p的乘法阶为t,定义指数和

集合S取连续整数集[1,X)时，Korobov[1]得到了

(1)

其中X≤t。其证明过程需用如下重要结果:

(2)

(3)

成立,但对于较小的t没有得到其非平凡的结果。文献[3]进一步得到了当t≥pε时,对于充分大的Q,p∈[Q,2Q]时,至多除了Q5/6+ε个素数p外(3) 式都成立。

此外,对于经典的Kloosterman和

Estermann[4]于1961年给出

目前认为这一估计是最好的。因此,很多学者尝试通过对Kloosterman和加权求均值来进一步研究是否存在相消性。例如,Kuznetsov[5]利用固定m、n,对模q求和的加权均值来研究Linnik猜想。与此相对应,文献[6-11]通过固定模q,对系数m、n分别求和来研究Kloosterman和的加权均值,相关结果都有重要应用[10-14]。

注意到对p不加限制时, 对于较小的t很难得到(2)式的非平凡上界估计。本文借鉴研究Kloosterman和的思路,利用文献[9]的方法来研究(2)式的加权均值,寻求当t取较小值时的非平凡上界估计。

给定集合I={K+1,…,K+M},J={L+1,…,L+N},并且M≤p,N≤t，复数序列A={αm}m∈I，B={βn}n∈J，定义以下两种加权和

(4)

以及

(5)

利用(2)式容易得到其平凡上界

(6)

和

(7)

利用文献[9]中的方法可以得到(4)式的非平凡上界。而(5)式的情形更为一般,其估计较(4)式也更为复杂一些。另外,作为(4)式的应用,可以估计(1)式的如下均值：

本文主要证明(4)、(5)式中两个和式的非平凡上界, 证明过程中需用到以下范数。