王婷婷

(西北农林科技大学 理学院， 陕西 杨凌 712100)

设整数k>h≥1及整数m,n,如果q≥3是一个整数,则二项指数和G(m,n,k,h,χ;q)定义为

其中:e(y)=e2πiy;χ表示模q的一个狄利克雷特征。

这些二项指数和在解析数论研究中占有非常重要的位置，特别当q=p为奇素数时, 它们与有限域上的傅里叶分析密切相关。正因为如此，许多学者研究了G(m,n,k,h,χ;q)的各种性质, 并得到了一系列重要的结果[1-10]。例如,文献[9]证明了恒等式

其中p表示满足(n,p)=1的奇素数。

最近,文献[11]研究了一般化的二项指数和的四次均值，并证明了以下结论:

如果p是满足(3,p-1)=1的奇素数,n为满足(n,p)=1的任意整数,则对任意狄利克雷特征λmodp,有恒等式

由文献[11]可知，此问题的难度较大,研究进展非常缓慢。

显然，文献[11]只考虑了特殊情况(p-1,3)=1，对于p≡1 mod 3，目前未见相关研究。但是这种情况(p≡1 mod 3)非常重要, 因为它与广义Kloosterman和密切相关。事实上文献[7]证明了对于任意整数m满足(m,p)=1,有恒等式

此外，还有一些相关的研究工作可参考文献[12-14],这里不再一一列举。

本文受到文献[11]研究的启发, 同时也想弥补其中的不足，于是提出：对于p≡1 mod 3,是否存在广义二项指数和四次均值

(1)

的一个确切的计算公式？

本文利用初等和解析方法研究了(1)式的计算,并得到了一些确切的计算公式,即证明了如下结论。

定理1设p为奇素数且满足p≡1 mod 3,n为任意整数且满足(n,p)=1，则对任意狄利克雷特征λmodp,有恒等式

其中：d由d≡1 mod 3和4p=d2+27b2唯一确定；χ表示模p的任意非实特征；ψ为模p的三阶特征；M(χ,ψ)定义为

定理2设p为满足p≡1 mod 3的素数。若特征χmodp满足χ3≠χ0，则有恒等式

推论1设p为满足p≡1 mod 3的素数，χ为模p的任意非实特征，则有渐近公式