张文鹏

(西北大学 数学学院, 陕西 西安 710127)

设q为一个正整数且q≥3,m为任意整数。对任意狄利克莱特征χmodq，广义k次高斯和G(m,k,χ;q)定义为

其中：k为正整数;e(y)=e2πiy。

若k=1,则G(m,1,χ;q)=G(m,χ;q)称为经典高斯和，它具有许多重要的性质。例如, 当χ是模q的原特征或(m,q)=1时,有恒等式

如果χ是模q的原特征，则

有关经典高斯和的其他相关性质见文献[1-3],此处不再一一列举。

由于经典高斯和在解析数论研究中十分重要,很多学者研究了它的各种性质，并得到了一系列有趣的结果。例如,文献[4]证明了上界估计

|G(m,k,χ;q)|≤2ω(q)q1/2。

其中：(m,q)=1；ω(q)表示q的不同素因子的个数。

特别当q为奇素数时，更一般的高斯和的上界估计也被给出，具体工作可参阅文献[5-6]。

另一方面,文献[7]研究了三次高斯和的四次均值问题，并得到了以下计算公式：

(1)

此外，文献[8]研究狄利克莱L-函数的加权均值的渐近性质时指出了以下2个恒等式:

以及

10p3-25p2-4p-1,若p≡3 mod 4。

最近,文献[9]研究了广义二项指数和的四次均值的计算问题，并得到了以下结果:

若p为奇素数且满足(3,p-1)=1,n为满足(n,p)=1的任意整数，则对任意狄利克莱特征λmodp,有恒等式

与文献[7]和[9]相关的其他研究工作可参阅文献[10-17]，此处不再列举。

受到文献[7-8]的启发,本文利用解析方法以及经典高斯和的性质研究了G(1,4,χ;p)的四次均值的计算问题,并给出了几个确切的计算公式，即证明了以下3个结论。

定理1设p为素数且满足p=4k+3,则有恒等式

定理2设p为素数且满足p=8k+5,则有恒等式

定理3设p为素数且满足p=8k+1,则有恒等式

其中α的定义与定理2相同。

事实上,常数α=α(p)有着特殊的含义，即对任意奇素数p且满足p=4k+1,则有恒等式