庄艳侠

摘  要：从不等式的常见问题、不等式的交会问题两个方面，对2021年全国各地高考数学试卷中与不等式相关的试题的解法进行简要评析与综述，并给出解题指导和备考建议.

关键词：不等式;解题分析;备考建议

不等关系在现实世界中广泛存在、贯穿着数量关系研究的始终，不等式是不等关系的重要数学模型、是高考考查的重点. 综观2021年全国各地高考数学试卷，对不等式的考查兼具基础性和综合性：基础性方面，直接考查不等式的基本性质、解不等式、基本不等式模型、线性规划问题等基础知识;综合性方面，不等式作为基础知识和基本工具，在高考中往往渗透在集合、常用逻辑用语、平面向量、函数与导数、解析几何、数列等交会问题中，且涉及的深度和广度不断提高. 本文将从不等式的常见问题、不等式的交会问题两个方面，对2021年全国各地高考数学试卷中与不等式相关的试题的解法进行简要评析与综述.

一、不等式的常见问题

1. 解不等式

例1 （全国甲卷·理16）已知函数[fx=2cosωx+φ]的部分图象如图1所示，则满足条件[fx-f-7π4 ·][fx-f4π3>0]的最小正整数[x]为        .

[x][y][O][图1]

解：由图1可知，[34T=13π12-π3=3π4，]

即[T=2πω=π.]

所以[ω=2.]

因为[f13π12=2，]

所以[2cos13π6+φ=2.]

可得[13π6+φ=2kπ，k∈Z，]

即[φ=-π6+2k-1π，k∈Z.]

所以[fx=2cos2x-π6.]

所以[f-7π4=fπ4=2cosπ2-π6=1，f4π3=][fπ3=0，]

所以由[fx-f-7π4fx-f4π3>0，]

可得[fx-1fx-0>0，]

即[fx>1]或[fx<0.]

接下来确定满足条件的最小正整数[x]的方法有如下3种.

（方法1）结合图2可知，满足[fx>1]的离[y]轴最近的正数区间为[0， π4，] 无整数，满足[fx<0]的离[y]轴最近的正数区间为[π3， 5π6.] 最小正整数[x=2.]

[x][y] [O][图2]

（方法2）因为[π4<1<π3，] 结合图2知，[0

故最小正整数应该满足[fx<0，]

即[cos2x-π6<0.]

解得[kπ+π3

令[k=0，] 可得[π3

故满足条件的最小正整数[x]为[2].

（方法3）因为[f1=2cos2-π6<2cosπ2-π6=1，]

结合图形可知，最小正整数应该满足[f（x……